Matematické Fórum

frydo · 20. 04. 2016 18:34

Zdravím,
mám problém s následujícím příkladem: Ověřte, že bod T leží na dané kuželosečce. Potom napište rovnici tečny v bodě T dané kuželosečky.

T[2,-4]
$x^2 + y^2 - 2x + 4y = 0$

Zda bod leží na kuželosečce zvládnu vypočítat, ale s rovnicí dané tečny si nevím rady.
Postupoval jsem takto:

1) Souřadnice T jsem dosadil do $y = kx + q$
Tedy: $-4 = 2k +q$ a q mi vyšlo : $q = -4-2k$

Rovnice tečny tedy bude vypadat : $y = kx -4 -2k$

Nyní vím, že musím z rovnice kuželosečky vyjádřit y, ovšem nevím co s $y^2$ abych po dosazení y neměl ve výsledné rovnici 3 proměnné.
Prosím o radu

byk7 · 20. 04. 2016 18:43

↑ frydo:

Napadají mě dva způsoby řešení.

1) Víš, jak vypadá rovnice tečny určité kuželosečky, pak stačí jen dosadit. (Co to je za kuželosečku?)

2) Soustava rovnic $x^2 + y^2 - 2x + 4y = 0,y = kx + q$ má mít právě jedno řešení. Dosazením za $y$ z druhé do první rovnice dostaneme kvadratickou rovnici v neznámé $x$ . Aby měla soustava právě řešení, musí být diskriminant nulový. Máme tedy soustavu $-4=2k+q$ a $D=0$ , kde $D$ je závislé na $k,q$ , vyřešením bys pak měl dostat hledanou tečnu.

misaH · 20. 04. 2016 18:45

↑ frydo:

Nemáš dosadiť to y do rovnice kružnice?

Potom zapísať Diskriminant a položiť ho rovný 0?

Ináč ste dotyčnice nerobili?

gadgetka · 20. 04. 2016 20:02

Zdravím,
můžeš též rovnici kružnice upravit na středový tvar, tím dostaneš souřadnice středu kružnice. Vypočítáš souřadnice vektoru ST, o kterém víš, že je kolmý na tečnu dané kružnice a tečna prochází bodem doteku. A rovnici tečny máš "natotata". :)

CupKate

uprav to na středový tvar
pokud se nemýlím tak by to mělo být takhle:
$(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=5$

z toho plyne, že se jedná o kružnici
napišu si rovnici tečny kružnice
$(x0-m)*(x-m)+(y0-n)*(y-n)=r^{2}$
>dosadím
$(xo-1)*(x-1)+(yo+2)*(y+2)=5$

a za xo,yo dosadím bod dotyku
$(1)*(x-1)+(-2)*(y+2)=5$
upravou dostanu rovnici
tečny x-2y-10=0

nejsem si uplně jistá, ale snad je to správně :)

misaH · 21. 04. 2016 22:14

$(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=6$

Nesedí...

CupKate · 21. 04. 2016 22:23

↑ misaH:
omlouvám se, teď už by to melo sedet :D

Kenniicek

↑ CupKate:
$(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=\textbf{5}$ :)

To uz sedi a aj ta dotycnica :)

Rumburak · 22. 04. 2016 09:55

↑ frydo:

Ahoj.

Jen poznamenám, že se směrnicovou rovnicí

(1) $y = kx + q$

přímky je jeden problém: nedají se jím vyjádřit přímky rovnoběžné s osou $y$ . Pokud by tedy hledaná
tečna ke kružnici měla vyjít rovnoběžná s osou $y$ , pak prostřednictvím rovnice (1) k ní nedojdeme.

misaH · 22. 04. 2016 10:49

↑ Rumburak:

:-)

frydo · 23. 04. 2016 20:36

Děkuji všem za pomoc a omlouvám se za neaktivitu.
Nakonec jsme to řešili přes obecnou rovnici tečny $Axxt + Byyt + 1/2Cx + 1/2Cxt + 1/2Dy + 1/2Dyt + E = 0$

Matematické Fórum

#1 20. 04. 2016 18:34

Tečna v bodě kuželosečky

#2 20. 04. 2016 18:43

Re: Tečna v bodě kuželosečky

#3 20. 04. 2016 18:45

Re: Tečna v bodě kuželosečky

#4 20. 04. 2016 20:02

Re: Tečna v bodě kuželosečky

#5 21. 04. 2016 22:04 — Editoval CupKate (21. 04. 2016 22:24)

Re: Tečna v bodě kuželosečky

#6 21. 04. 2016 22:14

Re: Tečna v bodě kuželosečky

#7 21. 04. 2016 22:23

Re: Tečna v bodě kuželosečky

#8 21. 04. 2016 22:24 — Editoval Kenniicek (21. 04. 2016 22:25)

Re: Tečna v bodě kuželosečky

#9 22. 04. 2016 09:55

Re: Tečna v bodě kuželosečky

#10 22. 04. 2016 10:49

Re: Tečna v bodě kuželosečky

#11 23. 04. 2016 20:36

Re: Tečna v bodě kuželosečky

Zápatí