Matematické Fórum

Freedy · 21. 04. 2016 00:50 — Editoval Freedy (21. 04. 2016 10:41)

Ahoj,

jelikož se zde nachází spousta vynikajících matematiků, zajímalo by mě, jak by jste řešili následující integrál:

Určete neurčitý integrál
$\int_{}^{}\sqrt{x^4+1}$

Rada od ↑↑ byk7:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Taylor?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Freedy

Jenda358 · 21. 04. 2016 09:14

Ahoj,

píšeš "nevlastní" integrál, ale $\int_{}^{}\sqrt{x^4+1}$ je spíš neurčitý integrál, takže prosím upřeni, jestli sis jen popletl termíny, nebo zapomněl dopsat meze.

Pokud ti jde o neurčitý integrál, tzn. o nalezení primitivní funkce na R, pak se obávám, že pomocí elementárních funkcí se ti to v uzavřeném tvaru nemůže podařit.

Ten Taylor se mi nejeví jako použitelná metoda. Problém je totiž v tom, že to malé "o" může být pěkně velké, pokud x není dostatečně blízko nule. Taylor v nule je zkrátka jen lokální aproximace, takže bych se dost divil, kdyby nějak pomohl při hledání primitivní funkce na R.

Jiná situace by byla, kdyby ta funkce třeba konvergovala ke své Taylorově řadě na celém R. Pak bys mohl integrovat člen po členu.

Rumburak

↑ Freedy:

Ahoj.

Ten rozvoj do binomické řady (nekontroloval jsem, zda je proveden správně) platí pouze za předpokladu $|x| < 1$ .

Jak tento integrál spočítat "s patra" neporadím (k vynikajícím matematikům určitě nepatřím).
Mohu jen doporučit zkoušet různé nápady. Začal bych substituci $x^2 = y$ , třeba to někam povede.

Freedy · 21. 04. 2016 15:11

↑ Rumburak:
případná taylorova řada by nicméně platila pro libovolné x.
Lze nějak určit, že daná taylorova řada konverguje, i když nevím jak vypadá?
Popřípadě, lze to řešit nějakou speciálně zadanou funkci?

Jenda358

Freedy napsal(a):
↑ Rumburak:
případná taylorova řada by nicméně platila pro libovolné x.

To obecně není pravda. Klasickým příkladem je funkce daná předpisem $f(x)=e^{-\frac{1}{x^{2}}}$ pro nenulové $x$ . Dodefinujeme-li tuto funkci v nule nulou, dostaneme funkci, jejíž Taylorova řada v nule je konstantně nulová, přestože samotná funkce není konstantně nulová na žádném okolí nuly.

Pavel · 21. 04. 2016 21:14

↑ Freedy:

Pro aproximaci funkce $\sqrt{x^4+1}$ na intervalu $\langle -1,1\rangle$ můžeš použít její Taylorův rozvoj v bodě $x=0$ .

Pro aproximaci funkce $\sqrt{x^4+1}$ na množině $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$ můžeš použít její Taylorův rozvoj v bodě $x=\infty$ .

Čím více členů, tím přesnější aproximace.

Freedy · 22. 04. 2016 07:19

↑ Pavel:
Taylor v bodě x = nekonečno se spočítá jak? Nikdy jsem o tom neslyšel.
Vždyť v taylorově polynomu vystupuje člen $(x-a)^n$ a pro a = nekonečno by to nemělo smysl ne?

Bati · 22. 04. 2016 07:48

↑ Freedy:
$x^{-2}\sqrt{1+x^4}=\sqrt{1+y^4}$

Rumburak

↑ Freedy:

T.ř. funkce $\sqrt{x^4+1}$ v nule je nutně totožná s binomickou řadou $(1 + x^4)^{\frac{1}{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty}{ \frac{1}{2} \choose n} x^{4n}$ ,
jejímž poloměrem konvergence je 1. Nebo se pletu ?

Pavel · 22. 04. 2016 21:50

↑ Freedy:

Pro $|x|<1$ lze použít rozvoj $(1 + x^4)^{\frac{1}{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty}{ \frac{1}{2} \choose n} x^{4n}$ , viz ↑ Rumburak:

Pro $|x|>1$ lze použít naopak rozvoj $(1 + x^4)^{\frac{1}{2}} = x^2\left(1 + \frac 1{x^4}\right)^{\frac{1}{2}}=\sum_{n = 0}^{\infty}{ \frac{1}{2} \choose n} x^{2-4n}$

Tomu druhému se někdy říká Taylorův rozvoj v nekonečnu.

Matematické Fórum

#1 21. 04. 2016 00:50 — Editoval Freedy (21. 04. 2016 10:41)

Integrál ∀x ∈ (-∞,∞)

#2 21. 04. 2016 09:14

Re: Integrál ∀x ∈ (-∞,∞)

#3 21. 04. 2016 10:08 — Editoval Rumburak (21. 04. 2016 10:09)

Re: Integrál ∀x ∈ (-∞,∞)

#4 21. 04. 2016 15:11

Re: Integrál ∀x ∈ (-∞,∞)

#5 21. 04. 2016 17:09 — Editoval Jenda358 (21. 04. 2016 17:11)

Re: Integrál ∀x ∈ (-∞,∞)

Freedy napsal(a):

#6 21. 04. 2016 21:14

Re: Integrál ∀x ∈ (-∞,∞)

#7 22. 04. 2016 07:19

Re: Integrál ∀x ∈ (-∞,∞)

#8 22. 04. 2016 07:48

Re: Integrál ∀x ∈ (-∞,∞)

#9 22. 04. 2016 09:40 — Editoval Rumburak (22. 04. 2016 09:42)

Re: Integrál ∀x ∈ (-∞,∞)

#10 22. 04. 2016 21:50

Re: Integrál ∀x ∈ (-∞,∞)

Zápatí