Matematické Fórum

Marpus · 22. 04. 2016 12:52

Dobrý den,
řeším poslední úlohu, než odevzám emailem. Nejsem si jist s přesnou rovnicí, zda to má být dobře. Jedná se o obrazec. Viz příloha níže.

3) Uvažujte všechny obrazce, které mají obvod D=80. Určete funkci pro obsah obrazce S(x). Určete definiční obor a nakreslete graf. Zjistěte, který obrazec má maximální a minimální obsah. Určete inverzní funkci S-1(x) a pomocí ní zjistěte, který obrazec má obsah S=40.

Marně přemýšlím, zda je to správný vzorec, nebo jsem asi nejspíše něco překlikl. Mám to v sešitě opsané, ale je pravděpodobné, že profesor asi udělal chybu. Jde jen o ty základní vzorce na základě obrazce, zbytek vyřeším derivováním. Díky za odpověď.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-04/22164_2016-04-22.png

Al1 · 22. 04. 2016 13:05 — Editoval Al1 (22. 04. 2016 13:06)

↑ Marpus:

Zdravím,

pro délku půlkružnice platí $l=\frac{1}{2}\cdot 2\pi r=\pi r$ , zde potom $r=\frac{x}{2}$

Cheop · 22. 04. 2016 13:07

↑ Marpus:
Proč máš u obvodu D 2*pi*x/2 podle mě by to mělo být jen:
D= x+2y+pi*x/2

Marpus · 22. 04. 2016 13:19

Al1, Cheop:
Takže u D platí = x+2y+pi*x/2
A u obsahu je to platné? Děkuji za odpověď.

Cheop · 22. 04. 2016 13:33

↑ Marpus:
Když přepočítáš obvod a za y do obsahu dosadíš správné y pak Ti to vyjde dobře.
Tvoje fce pro obvod i obsah jsou zatím špatně, což je ovlivněno právě špatným
vzorečkem pro obvod (půlkruhu)

Marpus · 22. 04. 2016 13:45

Takže tak by to mohlo vyjít...

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-04/25527_2016-04-22%2B%25281%2529.png

Cheop · 22. 04. 2016 13:57

↑ Marpus:
Ano, a pro maximalní obsah obrazce by dle mého mělo platit:
$x=\frac{2D}{\pi+4}\\y=\frac{D}{\pi+4}$

Marpus · 22. 04. 2016 14:00

Přiznám se, že tyhle vzorce pro maximální obsah nejsou ve skriptech ani v sešitě, řeším formou derivací. :-/

Marpus · 22. 04. 2016 14:12

Mám to vypočítané takhle:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-04/27118_2016-04-22%2B%25282%2529.png

Al1 · 22. 04. 2016 19:58 — Editoval Al1 (23. 04. 2016 10:19)

↑ Marpus:

Pracuj raději s přesnými hodnotami

$D=x+2y+\frac{\pi }{2}x\nl y=\frac{2D-x(2+\pi) }{4}$
$S=xy+\frac{\pi }{8}x^{2}\nl S=x\cdot \frac{2D-x(2+\pi) }{4}+\frac{\pi }{8}x^{2}\nl S=\frac{D}{2}x-x^{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{\pi }{8}\right)$

Pak spočítáš $\frac{\partial S}{\partial x}=0$
Přesný výsledek je ten, který napsal kolega Cheop.
$x=\frac{2D}{\pi+4}\\y=\frac{D}{\pi+4}$

Tomu po zaokrouhlení odpovídají tvé hodnoty.

Marpus · 23. 04. 2016 00:19

Koukám, že mi to vychází přesně jako u derivací. Děkuji moc. Mohu se zeptat, jak jste na to přišli a jakým způsobem? Zajímá mě to, jsem jen dálkář v Šumperku při práci :)

Děkuji za odpověď.

Al1 · 23. 04. 2016 10:32

↑ Marpus:

příklad řeším obecně. Nezadávám obvod D= 80 cm, ale pracuji pouze s konstantou D. Z výpočtu obvodu vyjádřím proměnnou y, kterou dosadím do předpisu funkce popisující závislost obsahu obrazce na délce strany. Mám nyní funkci proměnné x, a tu zderivuji. Položím derivaci rovnu 0, abych zjistil starcionární bod ( zde je patrně extrém).

Z rovnice
$\frac{D}{2}-2x\left(\frac{1}{2}+\frac{\pi }{8}\right)=0$ vypočítám $x=\frac{2D}{\pi +4}$ .

$S''=-2\left(\frac{1}{2}+\frac{\pi }{8}\right)<0$

Protože je druhá deivaci záporná pro všechny hodnoty x, je v bodě $x=\frac{2D}{\pi +4}$ lokální maximum.

Dopočítám $y=\frac{D}{\pi +4}$

Obrazec má při daném obvodu maximální obsah při rozměrech $x=\frac{2D}{\pi+4}; y=\frac{D}{\pi+4}$

V tvém řešení máš správný postup, jen pracuješ se zaokrouhlenými hodnotami. Tvé výsledky odpovídají se zaokrouhlením obecně zjištěným hodnotám $x=\frac{2D}{\pi+4}; y=\frac{D}{\pi+4}$

Marpus · 23. 04. 2016 14:48

Ok díky za vysvětlení. Zatím ahoj :) Téma vyřešena :)

Matematické Fórum

#1 22. 04. 2016 12:52

Uvažujte všechny obrazce... derivace

#2 22. 04. 2016 13:05 — Editoval Al1 (22. 04. 2016 13:06)

Re: Uvažujte všechny obrazce... derivace

#3 22. 04. 2016 13:07

Re: Uvažujte všechny obrazce... derivace

#4 22. 04. 2016 13:19

Re: Uvažujte všechny obrazce... derivace

#5 22. 04. 2016 13:33

Re: Uvažujte všechny obrazce... derivace

#6 22. 04. 2016 13:45

Re: Uvažujte všechny obrazce... derivace

#7 22. 04. 2016 13:57

Re: Uvažujte všechny obrazce... derivace

#8 22. 04. 2016 14:00

Re: Uvažujte všechny obrazce... derivace

#9 22. 04. 2016 14:12

Re: Uvažujte všechny obrazce... derivace

#10 22. 04. 2016 19:58 — Editoval Al1 (23. 04. 2016 10:19)

Re: Uvažujte všechny obrazce... derivace

#11 23. 04. 2016 00:19

Re: Uvažujte všechny obrazce... derivace

#12 23. 04. 2016 10:32

Re: Uvažujte všechny obrazce... derivace

#13 23. 04. 2016 14:48

Re: Uvažujte všechny obrazce... derivace

Zápatí