Matematické Fórum

Alejandro · 23. 04. 2016 18:49

Dobrý den, prosím o pomoc s určením definičního oboru funkce $y=\sqrt{sin(x)+sin(2x)}$ . Pokusil jsem se ho vyčíst z grafu, ale ten je trochu nesrozumitelný. Za odpovědi děkuji.

byk7 · 23. 04. 2016 19:04

↑ Alejandro:

Např. $\sin(x)+\sin(2x)=\sin(x)\bigl(1+2\cos(x)\bigr)$ a diskutovat nezápornost.

Alejandro · 23. 04. 2016 19:28

↑ byk7:

Děkuji za odpověď. Pokusil jsem se to vyřešit a vyšlo mi $x\in \mathbb{R}/\{k\pi +\pi /2\}$

Je to správně?

Al1 · 23. 04. 2016 19:43

↑ Alejandro:

Zdravím,

řešíš $\sin(x)\bigl(1+2\cos(x)\bigr)\ge 0$ , tedy
$\left(\sin x\ge 0\wedge \cos x\ge -\frac{1}{2}\right)\vee \left(\sin x\le 0\wedge \cos x\le -\frac{1}{2}\right)$

Tvé řešení správné není.

misaH · 23. 04. 2016 19:44

↑ Alejandro:

No - neviem.

Pod odmocninou nesmie byť záporné číslo, mal by si mať vo výsledku interval.

Správnosť tvojho výrazu som nekontrolovala.

Alejandro · 23. 04. 2016 20:04

↑ Al1:

Děkuji za odpověď. Podle jednotkové kružnice nabývá $sin(x)$ kladných hodnot na intervalu od $(0;\pi)$ a $cos(x)$ nabývá kladných hodnot na intervalu $(\frac{2}{3}\pi ;\frac{4}{3}\pi )$ , ale nejsem si jistý jak to dát dohromady.

Al1 · 23. 04. 2016 21:02

↑ Alejandro:

$\sin x\ge 0$ nastává pro $\bigcup_{k\in Z}^{}\langle2k\pi ; \pi +2k\pi \rangle$ ,

$\cos x\ge -\frac{1}{2}$ nastává pro $\bigcup_{k\in Z}^{}\langle-\frac{2}{3}\pi +2k\pi ; \frac{2}{3}\pi +2k\pi \rangle$

Mezi oběma podmínkami je konjunkce, mezi množinami hledej průnik.

Druhé dvě podmínky $\left(\sin x\le 0\wedge \cos x\le -\frac{1}{2}\right)$ vyřešíš podobně. Opět každou nerovnost vyřeš zvlášť a mezi výslednými množinami hledej průnik,

Nakonec mezi oběma dílčími výsledky provedeš sjednocení.