Matematické Fórum

Ajax0 · 27. 04. 2016 10:54

Dobrý den, zasekl jsem se při vytváření mezí pro trojný integrál a to rovnou u dvou relativně lehkých příkladů.
Nevědel byste někdo jak na ně ? :/

1)
$\int_{}^{}\int_{}^{}\int_{W}^{} x^{2}+y^{2}dxdydy$
$W: \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{4}+ \frac{z^{2}}{9}\le 1$

Vím, že se jedná o elipsoid se středem v $[0;0]$ a poloosami 2,2,3.
Zkoušel jsem to řešit přes sférické souřadnice, ale nejdemi to.

2)
$\int_{}^{}\int_{}^{}\int_{W}^{} z dx dy dy$ $W: x^{2}+y^{2}\le 9; x\le y\le x \sqrt{3}; 0\le z\le 4$

Oblast si představuji jako takovou "výseč dortu" . V xy kruh o r=3 protínájí dvě úsečky. A tato oblast je pak vysunuta od 0 do 4.
Pak bych dal $0\le x\le 3$ , dosadil meze do integrálu a vypočítal.
Ale ve výsledcích jsou možnosti pouze s pí.
Musím to tedy řešit v cylindrických souřadnicích ?

Rumburak

↑ Ajax0:

Ahoj.

Ad 1. Substituce do sf.s. je dobrý nápad. Možná máš ve výpočtu chybu, tu ale telepaticky nezjistíme.

Ad 2. Substituce do cylindrických souřadnic jistě není povinná (když to budeš umět spočítat jinak, proč ne),
je ale výhodná . U podmínky $x\le y\le x \sqrt{3}$ je dobré si uvědomit, že $1 = \tan ..., \sqrt{3} = \tan ...$

Jj · 27. 04. 2016 13:05

↑ Ajax0:

Dobrý den.

Řekl bych, že u prvního příkladu lze výhodně užít tzv. zobecněné sférické souřadnice Strana 17

Pokud jsem něco nepřehlédl, tak by jejich užití mělo vést k integrálu

$\iiint_{W} x^{2}+y^{2}dxdydz = \int_{0}^{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{1}\varrho^4\cos^3\varphi\,d\varrho\,d\vartheta\,d\varphi$

Ajax0 · 27. 04. 2016 13:12

↑ Rumburak:

1. Zkusím si to tedy ještě přepočítat díky ;)

Mám
$x=2rcosvcos\varphi$
$y=2rcosvsin\varphi$
$z=3rsinv$
$J = 12r^{2}cosv$

meze
$0\le r\le 1$
$0\le \varphi \le 2\pi$
$-\pi /2\le v\le 2\pi /2$

2.
$0\le x\le \frac{3}{\sqrt{2}}$
$0\le \varphi \le 2\pi$
$0\le z\le 4$