Matematické Fórum

lukaszh · 24. 04. 2009 00:28

Ahojte,
zaujímalo by ma, akým spôsobom by ste dokazovali nasledovné tvrdenie:
Nech $f\,:\;[a,b]\to\mathbb{R}$ je spojitá nezáporná funkcia, tak
$\lim_{n\to\infty}$\int_{a}^{b}f^n(x)\,\rm{d}x$^{1/n}=\max_{x\in[a,b]}f(x).$
Nie som si celkom istý určitým krokom, svoje by som pridal neskôr aby som neovplyvňoval. Aj tak to bude asi zle :-)

Rumburak

Označme $m=\max_{x\in[a,b]}f(x)$ . Pokud je m=0, Tvůt vzorec je splněn triviálně. Nechť nadále $m>0$ . Položme $g(x)=\frac{f(x)}{m}$ pro $x\in [a,b]$ .
Funkce g je na uvedeném intervalu spojitá, pro každé x je $0\le g(x)\le 1$ , přičemž v jistém $c\in [a,b]$ je $g(c)=1$ . Dokazovaná rovnost
pak je ekvivalentní s rovností
$\lim_{n\to\infty}$\int_{a}^{b}g^n(x)\,\rm{d}x$^{1/n}=1$ .
Zvolme $h\in (0,1)$ . Existuje množina $M_h\subseteq [a,b]$ kladné míry taková, že pro každé $x\in M_h$ je $0<h\le g(x)\le 1$ . Potom
$h^n \mu(M_h) \le \int_{a}^{b}g^n(x)\,\rm{d}x\ \le b-a$ , takže
$h \sqrt[n]{\mu(M_h)} \le \sqrt[n]{\int_{a}^{b}g^n(x)\,\rm{d}x\ } \le \sqrt[n]{b-a}$ ,
na tuto nerovnost provedeme limitu a dostaneme
$h \le \liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{\int_{a}^{b}g^n(x)\,\rm{d}x\ } \le 1$ .

Poslední nerovnost platí pro libovolné h < 1 , takže liminf je limitou rovnou 1 (že limsup je také <= 1 , je zřejmé).

lukaszh · 24. 04. 2009 10:49

↑ Rumburak:
Ahoj, nerozumiem dobre, čo myslíš pod $\mu(M_h)$ .

Rumburak · 24. 04. 2009 10:58

↑ lukaszh:
Ahoj taktéž,
myslím tím Lebesgueovu míru množiny M_h (nechtěl jsem se patlat s nějakými "deltami", tak jsem využil skutečnosti,
že Riemannův integrál je Lebesgueovým integrálem). Jinak pod M_h si můžeš představit interval kladné délky a
číslo $\mu(M_h)$ touto délkou.

lukaszh · 24. 04. 2009 10:59

↑ Rumburak:
Ďakujem, v tom prípade chápem. Celkom šikovné :-)

Matematické Fórum

#1 24. 04. 2009 00:28

Riemannov integrál

#2 24. 04. 2009 10:14 — Editoval Rumburak (24. 04. 2009 10:45)

Re: Riemannov integrál

#3 24. 04. 2009 10:49

Re: Riemannov integrál

#4 24. 04. 2009 10:58

Re: Riemannov integrál

#5 24. 04. 2009 10:59

Re: Riemannov integrál

Zápatí