Matematické Fórum

Statistik · 02. 05. 2016 13:26

Ahojte mam taketo zadanie. Dokazte, ze funckia $f(x)=x^3$ je diferencovatelna v bode $2$ . Ako na to?

byk7 · 02. 05. 2016 14:01

Ukaž, že v bodě $x_0=2$ existuje diferenciál.

jarrro · 02. 05. 2016 14:02

diferencovateľná znamená, že má konečnú deriváciu teda stačí ukázať, že
$\lim_{h\to 0}\frac{$h+2$^3-8}{h}$
je konečná

kaja.marik

↑ jarrro:
Te je elegantní, ale jenom bych upozornil, že tady využíváme větu, že funkce je diferencovatelné právě tehdy když má derivaci. Takže bych tam vložil "Diferencovatelná znamená že má diferenciál, to je právě tehdy když má derivaci, to je právě tehdy když existuje limita .... "

jarrro · 03. 05. 2016 19:20

↑ kaja.marik:máš pravdu
vo všeobecnosti (n premenných) je funkcia diferencovateľná v bode $A$ práve vtedy keď existujú
$k_1, \cdots , k_n$ také, že
$\lim_{X\to A}{\frac{f{$X$}-f{$A$}-\sum\limits_{i=1}^{n}{k_i$x_i-a_i$}}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}{$x_i-a_i$^2}}}}=0$
čo môže (pre viac premenných nemusí) byť splnené len keď
$k_i=\frac{\partial f}{\partial x_i}{$A$}$