Matematické Fórum

Jakub1 · 07. 05. 2016 14:47

Dobrý deň, chcel by som sa uistiť, či postupujem správne pri určovaní monotónnosti postupnosti:

$a_n=\sum_{i=1}^n \left( \frac{1}{\sqrt{n^{3}+i}}\right)$

Teda:
$a_1=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$a_2=\frac{1}{\sqrt{9}}+\frac{1}{\sqrt{10}}$
$a_3=\frac{1}{\sqrt{28}}+\frac{1}{\sqrt{29}}+\frac{1}{\sqrt{30}}$
$a_3=\frac{1}{\sqrt{65}}+\frac{1}{\sqrt{66}}+\frac{1}{\sqrt{67}}+\frac{1}{\sqrt{68}}$

Postupoval som takto: postupnosť som z oboch strán ohraničil monotónnymi / klesajúcimi postupnosťami. Platí:

$\forall n\in \mathbb{N} : \frac{n}{\sqrt{n^{3}+n}}\le a_n\le \frac{n}{\sqrt{n^{3}+1}}$

Otázka je, či z toho naozaj vyplýva, že postupnosť $\{a_n\}^{\infty}_{n=1}$ je monotónna, resp. klesajúca. Prípadne, dalo by sa to dokázať nejak inak? Ďakujem.

Rumburak · 09. 05. 2016 09:52

↑ Jakub1:

Ahoj.

To bohužel není dobře. Posloupnost ohraničená dvěma stejně monotonními posloupnostmi
sama nemusí být monotonní. Příklad si jistě snadno najdeš.

Máme tedy

$a_n=\sum_{i=1}^n \left( \frac{1}{\sqrt{n^{3}+i}}\right), n = 1, 2, 3, ...$

a chceme vyšetřit, zda posloupmost $(a_n)$ je monotonní. Je tudíž potřeba prozkoumat -
geometricky řečeno - jakou polohu na číselné ose mají rozdíly $a_{n+1} - a_n$ vůči nule.
Řekl bych, že nejde o úlohu úplně triviální.

Marian · 09. 05. 2016 12:21 — Editoval Marian (09. 05. 2016 19:39)

↑ Jakub1:↑ Rumburak:

Já bych přece jen uvedené odhady nezahazoval. Platí-li totiž pro posloupnost $(a_n)$ odhady

$d_n\le a_n\le h_n\qquad\forall n\in\mathbb N,$

kde $(d_n)$ , resp. $(h_n)$ jsou vhodně zvolené posloupnosti takové, že $h(n+1)<d(n)$ pro všechna $n\in\mathbb N$ , potom je posloupnost $(a_n)$ ostře klesající.

Položíme-li však

$d_n=\frac{n}{\sqrt{n^3+n}},\qquad{} h_n=\frac{n}{\sqrt{n^3+1}},$

potom uvedená podmínka platí (není těžké to ověřit - umocnění, úprava do tvaru bez racionálních výrazů a převedení na polynomickou nerovnici).

Přímé vyšetření diference dané posloupnosti není špatný nápad, avšak vidím v tomto případě řadu komplikací.

Pavel · 09. 05. 2016 15:25

↑ Marian:

To však není nic jiného než určení znaménka diference $a_{n+1} - a_n$ . Platí totiž

$a_n&=\sum_{i=1}^n \left( \frac{1}{\sqrt{n^{3}+i}}\right)>\frac{n}{\sqrt{n^3+n}}\\ a_{n+1}&=\sum_{i=1}^{n+1} \left( \frac{1}{\sqrt{(n+1)^{3}+i}}\right)<\frac{n+1}{\sqrt{(n+1)^3+1}}$

a tedy dle Tvého značení

$a_{n+1} - a_n<\frac{n+1}{\sqrt{(n+1)^3+1}}-\frac{n}{\sqrt{n^3+n}}=h_{n+1}-d_n<0$

Marian · 09. 05. 2016 15:44

↑ Pavel:

Takto jsem se nad tím nezamyslel. Máš pravdu.

Matematické Fórum

#1 07. 05. 2016 14:47

Monotónnosť postupnosti

#2 09. 05. 2016 09:52

Re: Monotónnosť postupnosti

#3 09. 05. 2016 12:21 — Editoval Marian (09. 05. 2016 19:39)

Re: Monotónnosť postupnosti

#4 09. 05. 2016 15:25

Re: Monotónnosť postupnosti

#5 09. 05. 2016 15:44

Re: Monotónnosť postupnosti

Zápatí