Matematické Fórum

freename · 11. 05. 2016 21:10

Dobrý den,

rád bych poprosil o radu s výpočtem bodu v rovnostranném trojúhelníku, přesněji jde v ternárním diagramu.

Představme si, že máme rovnostranný trojúhelník kde každý roh daného trojúhelníku ABC přestavuje řekněme hodnotu 100. Pokud jsme tedy v rohu A a přecházíme do rohu B zvyšuje se hodnota B z 0 do 100. Taktéž z B do C z 0 do 100 a zpět z C do A z 0 do 100.

Pokud bychom byli v rohu A a na protější straně "a" bychom vnitřkem trojúhelníku procházeli k rohu A, tak díky vlastnostem rovnostranného trojúhelníku by opět hodnota A rostla od 0 do 100 pro A. Taktéž pak pro B i C.

Pokud však mám jakkoli vedenou přímku v tomto rovnostranném trojúhelníku z jedná strany na druhou a znám pouze 2 hodnoty na jedné straně a 2 tytéž hodnoty na straně druhé (na koncích této přímky), tak exsistuje nějaký jednoduchý způsob, jak vypočíst uprostřed kdekoliv na přímce hodnotu třetího bodu?

Poznámka: součet všech třech hodnot ABC v kterémkoliv místě tohoto trojúhelníku dává vždy 100.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-05/93599_00.png

Z obrázku tedy..znám jen červené hodnoty. Modrou hodnotu neznám. Rád bych abych nemusel ony dvě známe hodnoty z prostřed grojúhelníku pracně překreslovat a odečítat ručně, ale užil bych jen známe hodnoty v excelu+vzorec pro výpočet třetí hodnoty třeba C nebo jiné v závislosti na tom, která by chyběla.

Děkuji za rady.

misaH · 11. 05. 2016 21:23 — Editoval misaH (11. 05. 2016 21:26)

↑ freename:

Stred = súčet krajných bodov deleno 2.

Teda pre C: (30+20):2=25 :-).

freename

↑ misaH:

Nejde o střed. Toto je jen jednoduchý případ pro znázornění. Jde o jakýkoliv bod na přímce.

jelena · 11. 05. 2016 23:10

Zdravím,

↑ freename: jde o způsob vyjádření koncentrace třisložkové směsí - ve Tvém případě od vrcholu C proti ručičkám na stranách trojúhelníku jsou koncentrace složek A, B, C. Pokud potřebuješ stanovit složení směsí v některém bodě uvnitř trojúhelníku, tak bodem vedeš rovnoběžky k jednotlivým stranám. Potom rovnoběžka proti vrcholu odsekává na straně koncentrace příslušné složky koncentraci "stejného jména" jako je vrchol.
V modrém bodě zakreslím 3 rovnoběžky a tomu bude odpovídat složení směsí (pro nalezení modrého C kreslím vodorovnou čáru a koncentraci odečtu na straně CB).

Z obrázku tedy..znám jen červené hodnoty. Modrou hodnotu neznám. Rád bych abych nemusel ony dvě známe hodnoty z prostřed grojúhelníku pracně překreslovat a odečítat ručně, ale užil bych jen známe hodnoty v excelu+vzorec pro výpočet třetí hodnoty třeba C nebo jiné v závislosti na tom, která by chyběla.

Pokud tomu rozumím správně, z těchto údajů jde popsat analyticky přímky rovnoběžné odpovídající straně trojúhelníku a procházející příslušnou koncentraci složky. Lze najít jejich průsečík "modrý bod". Průsečíkem následně vedeme "poslední" potřebnou rovnoběžku až do její průsečíku se stranou hledané koncentrace.

Ano, to by tak šlo také počítat, uvažuješ rovnice přímek ve tvaru $y=kx+q$ , $k$ pro všechny rovnoběžky stanovíš (jelikož trojúhelník je rovnostranný), pro doplnění $q$ budou sloužit souřadnice modrého bodu. Určitě to už bude k nalezení i hotové, jelikož třísložkové směsí jsou celkem populární záležitost.

Něco takového jsi potřeboval? Děkuji.

Eratosthenes · 11. 05. 2016 23:49

ahoj ↑ freename:

Jestliže

>> součet všech třech hodnot ABC v kterémkoliv místě tohoto trojúhelníku dává vždy 100

pak nerozumím tomu C?? Přece musí být C=25...

freename · 12. 05. 2016 05:25

Ano, vím, že jde o ternární systém a znám způsoby, jak z něj určit koncentrace třetí složky. Ovšem Případ, který popisuji je ten, kdy nemám přímku rovnoběznou z některou ze stran. Navíc jak jsem psal, znám počáteční hodnoty na přímce, ale uprostřed znám pouze dvě. Ternární systém v pozaví pro grafické odečtení třetí složky jako by nebyl.
Přesněji řečeno jde o nějaké numerické stanovení třetí složky z horizontálního řezu ternární soustavy.

jelena · 12. 05. 2016 09:20

Zdravím,
↑ Eratosthenes: ano, je to tak :-)

↑ freename: červená přímka na obrázku ve skutečnosti odráží proces přeměny koncentrace ve směsi - začínáš dvousložkovou nalevo, přidáváš složku B, ubíráš A až na 0, C klesá. Nakonec dojdeš napravo opět k dvousložkovému systému. Teď záleží, co na tom chceš pozorovat.

Ternární systém v pozaví pro grafické odečtení třetí složky jako by nebyl.

celý systém je uvázán k určitému systému souřadnic, v tomto případě tak, jak jsem popsala v 1. části ↑ příspěvku 4: (a píšeš, že princip znáš). Tedy nejde odmyslit přímku (úsečku) od systému souřadnic, potom si o hodnotách složek mohu vymýšlet všechno a odůvodňovat, že v mnou myšleném systému ("jako by nebyl") platí zrovna to, co si myslím.

Užití trojúhelníkového systému má také přesné geometrické odůvodnění - lze doplnit, pokud je zájem.

Spíš upřesni, prosím, jaký účel bude mít Tvé počítání na příkladu některého konkrétního problému, který chceš řešit. Děkuji.

freename

Zde je tedy příklad. Znám jen to, co je na obrázku a znám vlastnosti ternárního systému a vím, jak se v něm odečítají koncentrace. Na základě toho potřebuji porati, jak vypočíst hodnotu C jen prostřednictvím známých hodnot níže, bez překreslování do ternárního systému

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-05/82803_00.png

freename · 12. 05. 2016 16:54

Abych podotkl..to že je bod uprostřd nic neznamená. Může být kdekoliv. Tímto eliminujeme první odpověď v úvodu příspěvku.

jelena · 12. 05. 2016 17:34

↑ freename:

pokud nechceš překreslovat, potom jen dodržuješ, že (pokud jde o procentuální složení) pro každý stav třísložkového systému součet všech 3 složek dává 100 %. Z toho dopočteš C=100-(A+B).
Ovšem potom je zbytečné se zabývat složením směsí v dalších bodech a kreslit přímky. Budeš se věnovat jen tomu bodu, u kterého složení A, B znáš a potřebuješ dopočet C.
Například Tvůj nákres z ↑ příspěvku 8: ani nemůže nastat, pokud bys skutečně uvažovat přechod systému z bodu nalevo přes modrý bod napravo po červené přímce.
Já jsem se ptala na praktický záměr Tvého výpočtu, co konkrétně hodláš takto stanovit? Děkuji.

freename

Promiňte, já jsem idiot. Před hodinou jsem si v autě uvědomil, že jsem měl celou dobu chybu v zadání. Myslím na spoustu věcí, má chyba. Tak tedy..inovoval jsem obrázek výše. Na přímce neznám dvě hodnoty koncentrací. Jednu ano (ta je náhodná, závisí na zadání) ostatní ne.

Ještě jednou se omlouvám za vzniklé nedorozumění.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-05/82837_00.png

jelena · 12. 05. 2016 22:23

Před hodinou jsem si v autě uvědomil

:-) máš chodit pěšky. Problém můžeš převést na analytickou úlohu do prostoru. Pokud skutečně platí, že modrý bod leží na červené přímce zadané červenými body a jejich souřadnice jsou (94,6; 0; 5,4) a (0; 12,1; 87,9) můžeš sestavit parametrickou rovnici červené přímky.

Modrý bod má souřadnice (A; 8,3; (100-A-8,3)). Řešením soustavy dostaneš chybějící souřadnice modrého bodu. Stačí tak? Děkuji.

freename · 13. 05. 2016 17:53

jelena napsal(a):
Před hodinou jsem si v autě uvědomil
:-) máš chodit pěšky. Problém můžeš převést na analytickou úlohu do prostoru. Pokud skutečně platí, že modrý bod leží na červené přímce zadané červenými body a jejich souřadnice jsou (94,6; 0; 5,4) a (0; 12,1; 87,9) můžeš sestavit parametrickou rovnici červené přímky.

Modrý bod má souřadnice (A; 8,3; (100-A-8,3)). Řešením soustavy dostaneš chybějící souřadnice modrého bodu. Stačí tak? Děkuji.

Nejsem si jist, že by mi to na vzduchu pálilo víc, každopádně děkuji za doporučení ;)

Mile rád bych řekl, že to takto stačí, ale bohužel jsem měl parametrické rovnice X let nazpět :)

jelena · 14. 05. 2016 11:41

↑ freename:

není za co. Ale jak bez rovnice přímky v parametrickém tvaru můžeš jet v autě, to je mi záhadou, vždyť je nutné určit předpis pro přesun z bodu A do bodu :-). Postup sestavení parametrické rovnice přímky v prostoru je v odkazu, v procvičení je úloha

Určete čísla p, q, tak aby bod C[p;q;1 ležel na přímce A[0;1;0], B[3;2;-1].

je to přesně typ k nalezení chybějící souřadnice bodu, ve Tvém případě jedna souřadnice je neznáma, druhá je zadána, třetí je (100-(zadaná+neznámá)). Než v EXCEL, vyřešíš rychleji např. ve WA, kde zadáš řešení soustavy rovnic

freename · 15. 05. 2016 11:01

jelena napsal(a):
↑ freename:

není za co. Ale jak bez rovnice přímky v parametrickém tvaru můžeš jet v autě, to je mi záhadou, vždyť je nutné určit předpis pro přesun z bodu A do bodu :-). Postup sestavení parametrické rovnice přímky v prostoru je v odkazu, v procvičení je úloha
Určete čísla p, q, tak aby bod C[p;q;1 ležel na přímce A[0;1;0], B[3;2;-1].
je to přesně typ k nalezení chybějící souřadnice bodu, ve Tvém případě jedna souřadnice je neznáma, druhá je zadána, třetí je (100-(zadaná+neznámá)). Než v EXCEL, vyřešíš rychleji např. ve WA, kde zadáš řešení soustavy rovnic

I bez parametrického vyjádření rovnice přímky pro transport z bodu A do bodu B je přeprava možná. Zde je však předpis pro tuto činnost vymezen dopravním značením :)

Co se týče příkladu a využití WA, byl jsem nakonec přinucen přiklonit se k "old school" metodě papíru a tužky :) Každopádně výsledek se po 1 dni studia teorie, lehkého procvičení a nakonec otestování praktického případu povedl.

Takže tímto Vám chci velice poděkovat za skvělou radu, jste úžasná Jeleno! Pro mě jako ne-matematika toto bylo téměř neřešitelné. Za toto byste si zasoužila kytku, Opava je však rozlehlá..

vanok · 15. 05. 2016 14:43

Pozdravujem.
Tu ide o trilinearne suradnice.
( je jednoduche vidiet, ze kolme projekcie vnutorneho bodu trojuholnika dovoluju vytvorit tri usecky ktorych sucet dlzok je vyska daneho rovnostranneho trojuholnika)
Pochopitelne taketo suradnice maju suvis z barycentrickymy suradnicami.
Tiez nast relaciu z kartesienskymi suraznicami vo vhodnom repery ( kadry) nie je tazke.

jelena · 15. 05. 2016 18:13

Zdravím,

↑ freename: děkuji za hlášeno a že se podařilo. Kytky si prohlédnu zítra během přechodu Opavou :-) - po cestě je hodně moc pěkných (Opava není rozlehlá, skoro naopak, každé pondělí přecházím úplně z okraje, z průmyslové částí až na úplně jiný okraj a je to v pohodě za hodinu, předtím ještě jdu půlhodiny na průmyslový okraj, všemi směry přechody jsou do hodiny, tak je hodně malá).

↑ vanok: děkuji, ano - obvykle při praktické aplikace trojúhelníku pro stanovení složení třísložkové směsí se uvádí obrázek tohoto typu (s vyznačením výšek a odůvodněním přechodu na použití rovnoběžek). Toto upřesnění také nabízím uvést v příspěvku ↑ č. 7: "Užití trojúhelníkového systému má také přesné geometrické odůvodnění - lze doplnit, pokud je zájem."

Jiný pohled na složení třísložkové směsi, že každá možná koncentrace odpovídá bodu v pravoúhlém trojbokém jehlanu (který se odsekne rovinou přes body (100, 0, 0), (0, 100. 0), (0, 0, 100)). Tato možnost je pro kolegu nejspíš o něco přehlednější, jelikož si vystačil se SŠ látkou ohledně parametrického vyjádření přímky. Každopádně je užitečné si některé mechanické postupy (použití rovnoběžek) si občas odůvodnit, popř. odůvodnění oprášit.

vanok · 15. 05. 2016 18:48

↑ jelena:
Pozdravujem,
Aj stredoskolak moze sam urobit vsetki uzitocne dokazy vdaka ↑ vanok:, cf riadok v zatvorke.
Ak niekto potrebuje take suradnice, moze pozriet tuto encyklopediu
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
V matematike sa dnes pouzivaju barycentricke suradnice ... Preco to sa najde lahko na webe.
Trocha citania sa najde aj tu
http://mathworld.wolfram.com/TrilinearCoordinates.html

Je iste mozne, ze odkazy, na tuto temu, mozu zaujat kolegov, ktori hladaju historicke temy ( tu ide o 19° storocie) ktore sa daju pouzit aj dnes.

Matematické Fórum

#1 11. 05. 2016 21:10

Vzdálenost bodu v rovnostranném troúhelníku

#2 11. 05. 2016 21:23 — Editoval misaH (11. 05. 2016 21:26)

Re: Vzdálenost bodu v rovnostranném troúhelníku

#3 11. 05. 2016 21:28 — Editoval freename (11. 05. 2016 21:29)

Re: Vzdálenost bodu v rovnostranném troúhelníku

#4 11. 05. 2016 23:10

Re: Vzdálenost bodu v rovnostranném troúhelníku

#5 11. 05. 2016 23:49

Re: Vzdálenost bodu v rovnostranném troúhelníku

#6 12. 05. 2016 05:25

Re: Vzdálenost bodu v rovnostranném troúhelníku

#7 12. 05. 2016 09:20

Re: Vzdálenost bodu v rovnostranném troúhelníku

#8 12. 05. 2016 16:53 — Editoval freename (12. 05. 2016 21:53)

Re: Vzdálenost bodu v rovnostranném troúhelníku

#9 12. 05. 2016 16:54

Re: Vzdálenost bodu v rovnostranném troúhelníku

#10 12. 05. 2016 17:34

Re: Vzdálenost bodu v rovnostranném troúhelníku

#11 12. 05. 2016 20:53 — Editoval freename (12. 05. 2016 21:54)

Re: Vzdálenost bodu v rovnostranném troúhelníku

#12 12. 05. 2016 22:23

Re: Vzdálenost bodu v rovnostranném troúhelníku

#13 13. 05. 2016 17:53

Re: Vzdálenost bodu v rovnostranném troúhelníku

jelena napsal(a):

#14 14. 05. 2016 11:41

Re: Vzdálenost bodu v rovnostranném troúhelníku

#15 15. 05. 2016 11:01

Re: Vzdálenost bodu v rovnostranném troúhelníku

jelena napsal(a):

#16 15. 05. 2016 14:43

Re: Vzdálenost bodu v rovnostranném troúhelníku

#17 15. 05. 2016 18:13

Re: Vzdálenost bodu v rovnostranném troúhelníku

#18 15. 05. 2016 18:48

Re: Vzdálenost bodu v rovnostranném troúhelníku

Zápatí