Matematické Fórum

green19 · 12. 05. 2016 18:45

Ahoj, poradili by ste mi prosim s nasledujucou ulohou? Ulohou je najst vlastne hodnoty a spektrum operatora
T:X->X , kde X=C[0,1] a T(x)=y , kde funkcia y je urcena predpisom y(t)=x(1-t) pre vsetky $t \in [0,1]$ . Dakujem.

bedrnik

Ahoj,

můžeme začít tím, že použijeme definici vlastní hodnoty. Je to číslo $\lambda \in R$ , pro které existuje nenulový prvek x prostoru C[0,1] (což je v tomto případě spojitá funkce $x \colon [0,1] \to R$ nesplňující x(t) = 0 pro všechna t v [0,1]) takový, že

$\lambda x = T(x)$ ,

tj. $\lambda x(t) = x(1-t)$ pro všechna $t \in [0,1]$ .

Takže zkus analyzovat rovnost $\lambda x(t) = x(1-t)$ a zjistit, pro které hodnoty $\lambda$ tato rovnost může / nemůže nastat $\forall t \in [0,1]$ .

Také můžeš využít vlastností operátoru $T^2 = T \circ T$ . V tomto případě to hodně napoví, pokud jde o vlastní hodnoty.

green19 · 31. 05. 2016 14:08

↑ bedrnik:
Mozem napriklad pre kazde lambda vziat funkciu absolutnej hodnoty na intervale [0,1] s vrcholom v [1/2,0], kde cast vlavo od 1/2 sa nemeni a cast vpravo od 1/2 sa "natahuje" podla lambdy, t.j. nasobi lambdou? Je to nenulova funkcia. Takze to viem urobit pre kazde $\lambda \in \mathbb{R} ?$ A co so spektrom?

bedrnik

↑ green19:
Jedná se o tady tuhle funkci (budu ji značit $f_\lambda$ )? --- //forum.matweb.cz/upload3/img/2016-05/09786_funkce.png

To by bohužel nešlo, protože rovnost $f_\lambda(t-1) = \lambda f_\lambda(t)$ platí pouze pro $t \in [0,1/2]$ , ale ne pro $t \in (1/2,1]$ (pokud $\lambda \neq 1$ ).

Řekl bych, že nejjednodušší postup v tomto případě bude určit nejprve vlastní hodnoty operátoru $T^2$ , který má v tomto případě velmi "pěkné" vlastnosti. To nám hodně napoví díky následujícímu výsledku (který je snadné dokázat):

Je-li $\lambda$ vlastní hodnota operátoru $T$ , pak je $\lambda^2$ vlastní hodnota operátoru $T^2$ .

EDIT: A pokud jde o to spektrum, tak to je množina vlastních hodnot.

Matematické Fórum

#1 12. 05. 2016 18:45

Vlastne hodnoty a spektrum operatora

#2 30. 05. 2016 14:09 — Editoval bedrnik (30. 05. 2016 14:10)

Re: Vlastne hodnoty a spektrum operatora

#3 31. 05. 2016 14:08

Re: Vlastne hodnoty a spektrum operatora

#4 31. 05. 2016 18:06 — Editoval bedrnik (31. 05. 2016 18:07)

Re: Vlastne hodnoty a spektrum operatora

Zápatí