Matematické Fórum

Kiruka-chan

Dobrý večer, potřebovala bych prosím poradit s tímto příkladem:
Určete počet společných bodů kuželoseček k_1,k_2:
k_1: ((x-3)^2)/16 + ((y-1)^2))/4 = 1, k_2: (x-1)^2 + (y-2)^2 = 5.

Po úpravě rovnic mi vychází tato soustava rovnic o dvou neznámých:
x^2 + 4y^2 - 6x - 8y=3; x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0

Pak jsem od sebe zkoušela rovnice odečíst, ale obou neznámých jsem stále nezbavila, tak jsem si vyjádřila x a dosadila do druhé rovnice. Celé to ale vychází poměrně složitě a určitě existuje snazší způsob.

Předem děkuji za pomoc.

gadgetka · 12. 05. 2016 18:49

Ahoj, máš chybu v první rovnici:
$x^2-4y^2-6x+8y-11=0$

Kiruka-chan · 12. 05. 2016 18:52

Aha, moc děkuju :) zkusím to přepočítat

gadgetka

Ještě mě napadlo ... neroznásobuj to a zaveď substituci
$x-1=a$ a $y-1=b$

Možná ti to ušetří práci s počítáním. :)

Edit: Nejspíš neusnadní... :(

Kiruka-chan

Omlouvám se, v tom zadání má být u té první rovnice plus, ne mínus, takže mi pořád vychází x^2 + 4y^2 - 6x - 8y=3

Už jsem zadání opravila :)

misaH · 12. 05. 2016 19:20 — Editoval misaH (12. 05. 2016 19:20)

↑ Kiruka-chan:

Ahoj.

Máš zistiť iba počet spoločných bodov.

Prvá kužeľosečke je elipsa s viditeľným stredom aj inými rozmermi.

Druhá je kružnica s viditeľným stredom a polomerom.

Podľa mňa stačí náčrt.

Kiruka-chan · 12. 05. 2016 19:21

↑ misaH: Náčrt jsem si udělala a vychází to pěkně, ale potřebuju vědět, jak to udělat početně :/

misaH · 12. 05. 2016 19:26

↑ Kiruka-chan:

Ale ty nemáš vypočítať priesečníky.

Máš len zistiť, koľko ich je - počítať podľa mňa netreba.

misaH · 12. 05. 2016 19:33 — Editoval misaH (12. 05. 2016 19:43)

$(x-3)^2+4 (y-1)^2=16$

$(x-1)^2+(y-2)^2=5$
_________________________

$x^2-6x-3+4y^2-8y=0$

$x^2-2x+y^2-4y=0$
_________________________

Z druhej rovnice

$y^2-4y=2x-x^2$

Kiruka-chan · 12. 05. 2016 19:34

↑ misaH: V zadání to není, já vím, ale učitelka po nás chtěla grafické i početní řešení. Grafické mám, ale s početním si moc nevím rady...

misaH · 12. 05. 2016 19:35

↑ Kiruka-chan:

Už to robím.

misaH · 12. 05. 2016 20:24

↑ Kiruka-chan:

Ahoj.

Bude mi to chvíľu trvať... :-(

zdenek1 · 12. 05. 2016 21:00

↑ Kiruka-chan: ↑ misaH:
tak se přidám
rovnice
$x^2-6x-3+4y^2-8y=0$
$x^2-2x+y^2-4y=0$
odečteš
dostaneš $4x=3y^2-4y-3$ , čili $x=\frac{3y^2-4y-3}{4}$
a dosadíš do druhé rovnice
$\left(\frac{3y^2-4y-3}{4}-1\right)^2+(y-2)^2=5$
$(3y^2-4y-7)^2+16(y-2)^2-80=0$
nyní to roznásobíš
$9y^4-24y^3-10y^2-8y+33=0$
když si všimneš, že $9-24-10-8+33=0$ , tak máš okamžitě jeden kořen $y=1$ . Nyní vydělením $(y-1)$ dostaneš
$9y^4-24y^3-10y^2-8y+33=(y-1)(9y^3-15y^2-25y-33)=0$
teď už nezbývá, než vyskoušet celočíselné dělitele absolutního členu $\pm1,\pm3,\pm11,\pm33$