Matematické Fórum

Freedy · 11. 05. 2016 19:59 — Editoval Freedy (11. 05. 2016 20:25)

Dobrý den,

mám takový dotaz.
Jestliže mám polynom
$P(x)= \sum_{i=2}^{12}x^i$
tak vím, že můžu vytknout x^2. Nicméně o to mi nejde.
Tento polynom má 2-násobný kořen 0 a pak žádný reálný.

Nicméně, existují takové koeficienty, $a_i,b_i\in \mathbb{R}$ , $i\in \{1,...,6\}$ tak, že platí
$P(x) = \sum_{i=2}^{12}x^i = \bigg(\sum_{j=1}^{6} x^{a_i}\bigg)\bigg(\sum_{j=1}^{6} x^{b_i}\bigg)$

Například pokud mám polynom
$Q(x) = \sum_{i=0}^{11}x^i$
tak ten umím rozložit jako
$Q(x) = \sum_{i=0}^{11}x^i =(x^6+1)\sum_{j=0}^{5}x^i$
Ale tak to je triviální. Lze nějak dokázat, že taková čísla existují? popřípadě je najít?

Mám na mysli něco ve smyslu, že lze brát v potaz rozklady podobné například tomuto
$x^3-1=(x^{\frac{3}{2}}-1)(x^{\frac{3}{2}}+1)$

nicméně potřebuji mít koeficienty u x buď 1 nebo 0. Exponenty můžou být reálné.

Díky, Freedy

Bati · 12. 05. 2016 01:05

Ahoj ↑ Freedy:.
$a_i,b_i\in \mathbb{R}$ se mi zdá dost nadsazený. Pro záporný exponenty to neplatí a pro kladný se očividně stačí omezit na $\mathbb{Q}$ . Potom tu ale máš tvrzení z algebry, že $\mathbb{Z}[X]$ je UFD (unique factorization domain), z čehož plyne, že tvůj rozklad neexistuje pro každý ireducibilní polynom nad $\mathbb{Z}$ (sporem).

Freedy · 13. 05. 2016 01:22

↑ Bati:
sice toto tvrzení z algebry nemám, jelikož ji ještě nemám, ale budu tomu věřit.
Nicméně, lze nějak ukázat, že taková "reálná" čísla existují nebo ne?

Názor od jednoho docenta:
netroufám si říct, že v reálných číslech to nelze

Sestavil jsem si tabulku, co pro exponenty musí platit, nicméně těch možností je tak moc, že to ručně neprozkoumám. Jak tedy "na to"

Bati · 13. 05. 2016 10:48 — Editoval Bati (13. 05. 2016 10:55)

↑ Freedy:
Podle mě jsem ti už odpověděl...

1) Zkoumat ryze reálný exponenty se mi zdá nesmyslný (vzhledem k tomu, že při násobení se sčítají, je jich konečně mnoho a výsledkem musí být celé číslo)

2) Pokud uvažuješ racionální exponenty, tak taková čísla neexistují pro každý ireducibilní polynom, jak jsem ti už napsal.

Jinak ta věta z algebry, kterou jsem zmínil je jen jinak zapsaný fakt, že Euklidův algoritmus funguje i pro polynomy, což se dá snadno ověřit (myslel jsem, že algebru už jste měli).

Freedy · 13. 05. 2016 18:04

↑ Bati:
tak Euklidův algoritmus samozřejmě znám, nicméně nevím jak to na to napasovat. (máme lineární algebru, algebra jako taková začíná 3. semestr.)

Mám tedy polynom
$\sum_{i=1}^{10}x^i$
a chci ho vydělit polynomem
$\sum_{i=1}^{5}x^{a_i}$ kde $a_i\in \mathbb{Q}$

Euklidův algoritmus když na toto použiji tak dostanu akorát
$\frac{\sum_{i=1}^{10}x^i}{\sum_{i=1}^{5}x^{a_i}}=x^{10-a_1}+\frac{\sum_{i=1}^{9}x^i-\sum_{j=1}^{9}x^{a_i+(10-a_1)}}{\sum_{i=1}^{5}x^{a_i}}$
a z tohoto něco plyne?
Popřípadě nevíš náhodou o nějakém pěkném důkazu tohoto tvrzení - že to nelze?

vanok · 13. 05. 2016 20:06 — Editoval vanok (13. 05. 2016 20:26)

Ahoj ↑ Freedy:,
I ked tvoje pohnutky nie su jasne, je pravda, ze iste by si mohol prehlbit tvoje poznatky o polynomov (specialne na faktorialnych okruhoch= Anneaux factoriels) a ak hladas nejake doplnkove citanie o tom, tak preco nie Knuth,the art of computer programing, seminumerical algorithms (1973).
Dobru zabavu.

Matematické Fórum

#1 11. 05. 2016 19:59 — Editoval Freedy (11. 05. 2016 20:25)

Polynom

#2 12. 05. 2016 01:05

Re: Polynom

#3 13. 05. 2016 01:22

Re: Polynom

#4 13. 05. 2016 10:48 — Editoval Bati (13. 05. 2016 10:55)

Re: Polynom

#5 13. 05. 2016 18:04

Re: Polynom

#6 13. 05. 2016 20:06 — Editoval vanok (13. 05. 2016 20:26)

Re: Polynom

Zápatí