Matematické Fórum

hawklike · 14. 05. 2016 10:59

Procvičuji se na maturitu a nevím si rady s tímto příkladem. Nevíte jak ho vypočítat? Výsledky mám k dispozici, ale nedokážu najít řešení.

Napište rovnici paraboly, která má vrchol V[-2; 1], prochází bodem M[0,3] a má osu:

a) rovnoběžnou s osou x

b) rovnoběžnou s osou y.

Určete její ohnisko F a rovnici její řídící přímky.

gadgetka

Ahoj, vrcholová rovnice paraboly, která má osu rovnoběžnou s x, je:
$(y-n)^2=2p(x-m)$

případně:
$(y-n)^2=-2p(x-m)$

Stačí dosadit... :)

Edit:
$|VF|=\frac p2$
$d: \enspace x=m\mp \frac p2$

hawklike · 14. 05. 2016 11:09

Díky za odpověď, ale vždyť neznám parametr. Kdyby bod M byl bodem ohniska, tak by to bylo easy, ale ono není.

hawklike · 14. 05. 2016 11:13

Já jsem osel. Teď mě to trklo :)

Rumburak

↑ hawklike:

Ahoj.

V "nejhorším" zde můžeme vyjít přímo z definice paraboly a nebude to o mnoho těžší.

Mějme úlohu

Napište rovnici paraboly, která má vrchol $V[-2; 1]$ , prochází bodem $M[0,3]$ a má osu rovnoběžnou s osou x.

Postup řešení (kresli si obrázek):

1. Řídicí přímka paraboly je kolmá k ose paraboly a tedy i k ose x , která je s osou paraboly rovnoběžná.
Rovnice řídicí přímky má proto tvar $x = a$ .
Na řídicí přímce nemůže ležet vrchol paraboly, proto

(1) $a \ne -2$ .

2. Ohniskem paraboly bude zatím neznámý bod $F [f, g]$ . Z jeho polohy vůči řídicí přímce a vrcholu paraboly
(vrchol půlí kolmici spuštěnou z ohniska na řídicí přímku) plynou vztahy

(2) $g = 1 , -2 = \frac{a+f}{2}$ .

3. Libovolný bod $X[x, y]$ paraboly má od ohniska tutéž vzdálenost jako od řídicí přímky, což vyjádříme rovnicí

(3) $\sqrt{(x-f)^2 + (y-g)^2} = |x-a|$ .

To musí být být splněno i pro $X = M$ , což příslušným dosazením do (3) dává vztah

(4) $\sqrt{(0-f)^2 + (3-g)^2} = |0-a|$ .

Z podmínek (1) , (2) , (4) určíme neznámé $f, a$ (že $g=1$ , už víme) , dosadíme do rovnice (3), kterou pak upravíme
do tvaru obvyklého pro rovnici paraboly.

EDIT. Napřed jsem to trochu pomotal ve (2), ale už opraveno.