Matematické Fórum

Roidoc · 15. 05. 2016 22:18

Zdravím.

Trojúhelník $ABC$ má délky stran $a = 11cm$ , $b = 8cm$ . Poloměr kružnice opsané trojúhelníku je $6cm$ . Vypočítej délku strany $c$ .

S tímto příkladem si absolutně nevím rady.
Pokud trojúhelník narýsuji tak nikde nevznikne pravý úhel, zkoušel jsem různé možnosti a dopočítal jsem i všechny úhly, bohužel z toho nedostanu strany pomocí žádné funkce, protože pokaždé něco chybí.

gadgetka

Ahoj, např. by se dalo využít vztahu:

$r=\frac{a}{2\sin \alpha}=\frac{b}{2\sin \beta}=\frac{c}{2\sin \gamma}$

Edit: Vezmi v potaz i to, že sinus je kladný v I. a II. kvadrantu. Úloha bude mít dvě řešení.

Roidoc · 15. 05. 2016 23:11 — Editoval Roidoc (15. 05. 2016 23:12)

↑ gadgetka:

Děkuji, přemýšlel jsem a mám jeden návrh na řešení.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-05/46568_IMG_20160515_230555.jpg
Vypočítám si $\alpha$ .
$\alpha =\beta$
$\varepsilon =180^\circ -\alpha -\beta$
A poté funkcí $\sin$ zjistím $\frac{1}{2}$ strany $c$ .

Vlnkovaná čára je poloměr.

misaH · 15. 05. 2016 23:12

↑ Roidoc:

Ak máš uhly, tak (c/2):6 = kosínus jedného z uhlov pri c v trojuholníku so stranou c a ramenami s dĺžkou 6 cm.

Alebo sa mýlim?

A ako si zistil uhly?

misaH · 15. 05. 2016 23:18 — Editoval misaH (15. 05. 2016 23:20)

↑ Roidoc:

Načrtol si si trojuholník, ktorý vyzerá ako rovnostranný.

Vo všeobecných trojuholníkoch je situácia iná.

Ten trojuholník sa dá na rysovať...

Daj si do Google kružnica opísaná trojuholníku.

Roidoc · 15. 05. 2016 23:20

↑ misaH:

Úhel $\alpha$ zjistím pomocí funkce $\sin$ , protože znám přeponu ( $6cm$ ) a stranu protilehlou ( $4cm$ )
Úhel $\beta$ je stejný jako úhel $\alpha$ , zjistím ho pomocí stejné funkce.
Úhel $\varepsilon$ zjistím tak, že úhel $\alpha$ a $\beta$ odečtu od $180^\circ$ .

Nebo ne?

misaH · 15. 05. 2016 23:22 — Editoval misaH (15. 05. 2016 23:26)

↑ Roidoc:

Ne.

Prečítaj si môj príspevok.

Napríklad tupouhlé trojuholníky majú stred opísanej kružnice mimo trojuholníka, pravouhlé v strede prepony...

Roidoc · 15. 05. 2016 23:23

↑ misaH:

Ach ano, pak si tedy opravdu nevím rady.

Dá se narýsovat, ale proč bych to dělal, když se to dá zjistit výpočtem (snad).

gadgetka · 15. 05. 2016 23:34

Vyzkoušej vztah, co jsem ti napsala. Máš zadané dvě strany a poloměr, vypočítáš dva úhly, třetí dopočítáš do 180° a vypočítáš stranu c.

Roidoc · 15. 05. 2016 23:49 — Editoval Roidoc (15. 05. 2016 23:49)

↑ gadgetka:

Pokud by tedy platily funkce:
$\sin \alpha =\frac{4}{6}$
$\sin \beta =\frac{4}{6}$
vycházíme ale z toho, že tam je pravý úhel (viz obrázek v prvním příspěvku), co když ale není (viz obrázek níže)?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-05/48904_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.png

Tučná čára je poloměr.
Tenká čára vede od středu opsané kružnice do středu jakékoli strany trojúhelníku.

gadgetka

$r=\frac{a}{2\sin \alpha}=\frac{b}{2\sin \beta}=\frac{c}{2\sin \gamma}$

$6 = \frac{11}{2\sin \alpha}\Rightarrow \sin \alpha =\frac{11}{12}\Rightarrow \alpha_1\doteq 66° 27', \enspace \alpha_2\doteq 113° 33'$

$6=\frac{8}{2\sin \beta}\Rightarrow \sin \beta=\frac{8}{12}\Rightarrow \beta_1\doteq 41°49', \enspace \beta_2\doteq 138°11'$
(úhel $\beta_2$ nevyhovuje)

$\gamma_1\doteq 71°44'\enspace \gamma_2\doteq 24°38'$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

misaH · 16. 05. 2016 00:41 — Editoval misaH (16. 05. 2016 16:39)

↑ Roidoc:

Stred kružnice opísanej trojuholníku leží na osiach strán (sú to kolmice k stranám idúce stredom strán - tam je pravý uhol).

Ak je pôvodný trojuholník ostrouhlý, jeho vnútorné uhly sa vyrátajú ľahko - podľa obrázka čo si dal, ibaže kosínusom. Dva. Tretí sa doráta do 180°.

Tretia strana sa potom vyráta analogicky.

Neviem, čo stále počítaš uhly pri strede - len ťa to zbytočné mýli.

Alebo rátaj naozaj podľa vzťahu, čo ti dala gadgetka.
Ten vzťah ale podľa mňa nie je všeobecne známy a úloha sa dá riešiť aj bez neho.

gadgetka · 16. 05. 2016 01:08

Nebo: úhel gamma je součtem úhlů z dvou trojúhelníků, u kterých znáš všechny tři strany(8, 6, 6 a 11, 6, 6). Použiješ kosinovou větu na výpočet těchto dvou úhlů, jejich součtem zjistíš úhel gamma a další kosinovou větou se dostaneš ke straně c.

misaH · 16. 05. 2016 11:57

On chodí na základnú školu.

Cheop · 16. 05. 2016 12:04 — Editoval Cheop (16. 05. 2016 12:05)

↑ misaH:
Zdravím,
to jsem nevěděl obrázek i výpočet skryji.

misaH · 16. 05. 2016 14:20

↑ Cheop:

Ahoj.

:-)

Škoda, že si to skryl. Aspoň by videl, ako to vyzerá. Máš pekné obrázky a aj dobré nápady.

Maj sa...

Roidoc · 16. 05. 2016 16:37

↑ Cheop: ↑ misaH:
Jednou to budu muset stejně pochopit a je jedno jestli teď nebo za rok, ne?
Poprosím o ten obrázek.

↑ gadgetka:
Fajn, děkuji, chápu.

Teď otázka na všechny, jde to i jakkoli udělat jinak?
Vždyť je to příklad jako ostatní, kde mi stačil nákres pravoúhlého trojúhelníku.

misaH · 16. 05. 2016 16:49 — Editoval misaH (16. 05. 2016 16:59)

↑ Roidoc:

Obrázok si môžeš urobiť aj sám - ibaže si to odmietol.
Urobiť obrázok v geogebre a zapísať postup v TEXe je veľmi náročné na čas. Áno, budeš sa to učiť, ale zatiaľ by si mal pochopiť predovšetkým úplne základné veci - vyzerá to, že máš v nich ešte medzery. Ale obdivujem tvoje nadšenie...

Úloha sa dá riešiť prostriedkami základnej školy.

Ponúkla som ti postup iba s využitím kosínusu uhla, zrejme si z toho nič nemal, hoci je to jednoduchá a úplne základná vec. Postup gadgetky aj Cheopa vyžaduje vedomosti, ktoré základná škola neposkytuje (napríklad kosínusová veta).

Ak sa chceš učiť veci dopredu, naštuduj si ich sám (materiálov je dosť) a až potom žiadaj o pomoc - vysvetľovať ti všetku teóriu, keď ti robí problém používať obyčajné prostriedky základnej školy je plytvanie energie ľudí, ktorí sem prispievajú.

Ty by si si mal zapamätať základné veci - napríklad, že náčrtok nesmie byť pravidelný, ak sa to vyslovene v úlohe neuvádza, že si sa v tejto úlohe mohol sústrediť na vnútorné uhly trojuholníka a nie na uhly pri strede opísanej kružnice...

Všetko má svoj čas...

Roidoc · 16. 05. 2016 16:58 — Editoval Roidoc (16. 05. 2016 17:00)

misaH napsal(a):
Obrázok si môžeš urobiť aj sám - ibaže si to odmietol.

To ne, akorát nám nikdy nikdo neřekl co dělat, pokud není zadaný o jaký trojúhelník se jedná.
Jednoduše, vždy ty samé příklady při hodině, akorát jiné velikosti, ale věci na přemýšlení chybí.

misaH napsal(a):
Ponúkla som ti postup iba s využitím kosínusu uhla, zrejme si z toho nič nemal, hoci je to jednoduchá a základná vec.

Na to jsem úplně zapomněl, pořád jsem přemýšlel nad tím vzorečkem výše.
Hned se na to vrhnu.

misaH napsal(a):
Postup gadgetky aj Cheopa vyžaduje vedomosti, ktoré základná škola neposkytuje.

S tím souhlasím.
Docela je i škoda, že někteří učitelé (někdy i naše p. učitelka) zakazuje vlastní systémy, ale o tom jindy.

misaH napsal(a):
Ak sa chceš učiť veci dopredu, naštuduj si ich sám (materiálov je dosť) a až potom žiadaj o pomoc - vysvetľovať ti všetku teóriu, keď ti robí problém používať obyčajné prostriedky základnej školy je plytvanie energie ľudí, ktorí sem prispievajú.

Budu vás brát na vědomí.

misaH · 16. 05. 2016 17:00

↑ Roidoc:

:-)

Nech sa Ti darí, Roidoc.

Cheop · 18. 05. 2016 09:25

↑ Roidoc:
Tady je tedy ten obrázek:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-05/56339_2tt.png

Matematické Fórum

#1 15. 05. 2016 22:18

[32/16] - Základní užití goniometrických funkcí

#2 15. 05. 2016 22:57 — Editoval gadgetka (15. 05. 2016 23:05)

Re: [32/16] - Základní užití goniometrických funkcí

#3 15. 05. 2016 23:11 — Editoval Roidoc (15. 05. 2016 23:12)

Re: [32/16] - Základní užití goniometrických funkcí

#4 15. 05. 2016 23:12

Re: [32/16] - Základní užití goniometrických funkcí

#5 15. 05. 2016 23:18 — Editoval misaH (15. 05. 2016 23:20)

Re: [32/16] - Základní užití goniometrických funkcí

#6 15. 05. 2016 23:20

Re: [32/16] - Základní užití goniometrických funkcí

#7 15. 05. 2016 23:22 — Editoval misaH (15. 05. 2016 23:26)

Re: [32/16] - Základní užití goniometrických funkcí

#8 15. 05. 2016 23:23

Re: [32/16] - Základní užití goniometrických funkcí

#9 15. 05. 2016 23:34

Re: [32/16] - Základní užití goniometrických funkcí

#10 15. 05. 2016 23:49 — Editoval Roidoc (15. 05. 2016 23:49)

Re: [32/16] - Základní užití goniometrických funkcí

#11 16. 05. 2016 00:05 — Editoval gadgetka (16. 05. 2016 00:07)

Re: [32/16] - Základní užití goniometrických funkcí

#12 16. 05. 2016 00:41 — Editoval misaH (16. 05. 2016 16:39)

Re: [32/16] - Základní užití goniometrických funkcí

#13 16. 05. 2016 01:08

Re: [32/16] - Základní užití goniometrických funkcí

#14 16. 05. 2016 10:25 — Editoval Cheop (16. 05. 2016 12:03) Příspěvek uživatele Cheop byl skryt uživatelem Cheop. Důvod: Moc složité na ZŠ

#15 16. 05. 2016 11:57

Re: [32/16] - Základní užití goniometrických funkcí

#16 16. 05. 2016 12:04 — Editoval Cheop (16. 05. 2016 12:05)

Re: [32/16] - Základní užití goniometrických funkcí

#17 16. 05. 2016 14:20

Re: [32/16] - Základní užití goniometrických funkcí

#18 16. 05. 2016 16:37

Re: [32/16] - Základní užití goniometrických funkcí

#19 16. 05. 2016 16:49 — Editoval misaH (16. 05. 2016 16:59)

Re: [32/16] - Základní užití goniometrických funkcí

#20 16. 05. 2016 16:58 — Editoval Roidoc (16. 05. 2016 17:00)

Re: [32/16] - Základní užití goniometrických funkcí

misaH napsal(a):

misaH napsal(a):

misaH napsal(a):

misaH napsal(a):

#21 16. 05. 2016 17:00

Re: [32/16] - Základní užití goniometrických funkcí

#22 18. 05. 2016 09:25

Re: [32/16] - Základní užití goniometrických funkcí

Zápatí