Matematické Fórum

aladar · 18. 05. 2016 16:42

Ahojte, tak zase topic s blbou otazkou, ale nemozem to nikde najst. Prva vec, ktorou si nie som uplne isty pri vypocte determinantu a zmene riadkov matice. Pri prehodeni dochadza k zmene znamienka. Co mi ale vrta hlavou je to, ze nech mam napr. maticu 4*4, a posledny riadok chcem uplne hore. Co sa stane? Myslim si, ze klasicky by sa ostatne riadky mali len posunut dole, to znamena, ze povodne 4 riadok by bol na prvom riadku, povodny prvy riadok na druhom riadku etc. Skusal som to s jednou maticou a malo by to tak fungovat, ale chcem sa to preistotu spytat, ci to je skutocne tak. Videl som jedno video na youtube, kde tie riadky prehadzoval, to znamena ze prvy riadok isiel na 4 riadok, a 4 riadok isiel na prvy riadok, no neviem preco to tak robil, a to video uz nemozem najst.

Druha vec, ak mam maticu upravenu na horny trojuholnikovity tvar resp. dolny, tak determinant je rovny sucinu cisel na diagonale. Mam avsak maticu

$\begin{pmatrix} 0 & 0 &0&1\\ 0&0&1&0\\ 0&1&0&0\\ 1&0&0&0 \end{pmatrix}$

Existuje nejake pravidlo s vedlajsou diagonalou, ktore by mi ulahcovalo vypocitat determinant tejto matice? Alebo proste musim tie riadky poprehadzovat? Dakujem vsetkym velmi pekne za odpovede.

vanok · 18. 05. 2016 17:38 — Editoval vanok (18. 05. 2016 17:57)

Ahoj ↑ aladar:,
Mozes pouzit GEM tak ze urobis dve elementarne operacie
Prehodis prvy a stvrty riadok
Potom druhy a trety. ...to da jednotkovu maticu.
Doplnok Ma to aj suvis s elementarnymi maticami: vies ako to funguje?

Na vypocet determinantu mozes pouzit aj Laplace-ove pravidlo.
( tu m'as len 4 nenulove prvky)

aladar · 18. 05. 2016 20:13

Mozem sa este teda spytat, ako je to s tym prehodenim riadku? Ak posuniem stvrty riadok na prve miesto, prvy sa posunie na druhy, druhy na treti a treti na stvrty, tak staci raz vynasobit vysledny determinant -1?

vanok · 18. 05. 2016 21:54

↑ aladar:
To co som ti navrhol je skutocne prehodenie dvoch riadkov. To je jeden typ elementarnej operacie.
Ine typy su pripocitat k nejakemu riadku linearnu kombinaciu inych riadkov. ( taka to nemeni znamienko noveho determinantu)
A nakoniec nasobenie riadku nenulovov konstantou.
Podrobnejsie
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Elementary_matrix

Pochopitelne podobne situacia sa tyka aj stlpcov.

Tvoja metoda nie je elementarnej operacia ( no mozes ju dostat zlozenim takych operacii)

aladar · 18. 05. 2016 22:18

Ahaaa, tak snad mi to konecne vyslo :) Este taky detajl k vlastnym cislam, riesim v podstate tu maticu, ktoru som poslal vyssie, a potebujem zistit ci je diagonizovatelna. Vypocital som teda charakteristicky polynom, ten mi vysiel
$(1-\lambda^{2})*(1-\lambda^{2})$

riesenie oboch zatvorok je teda {1,-1}, co mi ale nie je jasne, je znova ta algebraicka nasobnost. Ak by som mal jednu zatvorku tak je to jasne, $v_{a}(1) = 2, v_{a}(-1) = 2$ , ale nie som si isty, ked tam mam dvakrat v zatvorkach to iste, bude ta nasobnost teda pre obe cisla 4?

Dakujem velmi pekne.

byk7 · 18. 05. 2016 22:34

↑ aladar:

$$1-\lambda^2$^2=(1-\lambda)^2(1+\lambda)^2$ , tj. obě čísla 1, -1 mají algebraickou násobnost 2.

vanok · 18. 05. 2016 22:57

Ahoj ,
Tu mas skutocne charakteristicky polynom $$1-\lambda^2$^2=(1-\lambda)^2(1+\lambda)^2$ , ako ti to pripomenul aj kolega ↑ byk7:.
Tvoja matica sa diagonalizuje ako
$\begin{pmatrix} -1& 0 &0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}$

Inac to si vsak mohol poznamenat z prednasok, lebo tam ste ( dufam) dokazali, ze kazda symetricka matica je diagonalizabla.

Dobre pokracovanie.... Ze redukcia matic je fascinujuca.

aladar · 19. 05. 2016 10:31 — Editoval aladar (19. 05. 2016 11:27)

Dakujem este raz velmi pekne, mal by som este jednu poslednu otazku. Pri zadani je, ze mam rozhodnut, ci matica je podobna diagonalnej matici a v pripade ano, tak najst maticu P a D, tak aby AP = PD. Tie matice som nasiel, akurat by ma zaujimalo, ci viem, nejak dopredu rozhodnut bez toho aby som to isiel pocitat, ci je podobna. Viem overit, ci je diagonalizovatelna, ci uz rovnostou algebraickej a geometrickej nasobnosti, popripade ako vanok spominal, ze je symetricka. Ak mi nevyjde, ze je diagonalizovatelna nebude ani podobna. Mna by vsak zaujimal ten pripad, ak je diagonalizovatelna, ci viem nejak chytro overit ci je aj podobna, bez toho aby som este kontroloval tu rovnost AP = PD. Dakujem chlapi :)

a predsa este jedna technicka :D ako by slo co najjednoduchsie postupovat pri hladani char polynomu pri tejto matici?
$\begin{pmatrix} 3&-1&0&0\\ 1&1&0&0\\ 3&0&5&-3\\ 4&-1&3&-1 \end{pmatrix}$

Upravil som to na
$\begin{pmatrix} 3&-1&0&0\\ 0&4&0&0\\ 0&0&20&-12\\ 0&0&0&12 \end{pmatrix}$
+ po upravach treba vysledny determinant vydelit (3*4*5*3), cim dostanem spravny determinant a to 16. No po dosadeni lambdy si s tymto neviem velmi pomoct
$\frac{(3-\lambda)(4-\lambda)(20-\lambda)(12-\lambda)}{3*4*5*3}$

Idem skusit cez rozvoj...

vanok · 19. 05. 2016 11:46 — Editoval vanok (19. 05. 2016 12:49)

Ahoj, tvoja uprava je spatna.
Najlepsie je pouzit charakteristicky polynom a zacni hladat vlastne vektory....

aladar · 19. 05. 2016 13:27

Ok fajn, pomocou rozvoja mi to pekne vyslo. Dostal som $(\lambda - 2)^{4}$ cize algebraicka nasobnost 4, po dosadeni za lambdu do matice, dostavam jadro, ktoreho je dimenzia 2, a teda matica nie je diagonalizovatelna a ani podobna. Snad to je spravne...

vanok · 19. 05. 2016 13:34

↑ aladar:,
Ano nie je diagonalizovatelna. Neskor uvidite Jordanovu dekompoziciu co umozni lepsie videt typ tvojej matice.

Matematické Fórum

#1 18. 05. 2016 16:42

Determinant - zmena riadkov/vedlajsia diagonala

#2 18. 05. 2016 17:38 — Editoval vanok (18. 05. 2016 17:57)

Re: Determinant - zmena riadkov/vedlajsia diagonala

#3 18. 05. 2016 20:13

Re: Determinant - zmena riadkov/vedlajsia diagonala

#4 18. 05. 2016 21:54

Re: Determinant - zmena riadkov/vedlajsia diagonala

#5 18. 05. 2016 22:18

Re: Determinant - zmena riadkov/vedlajsia diagonala

#6 18. 05. 2016 22:34

Re: Determinant - zmena riadkov/vedlajsia diagonala

#7 18. 05. 2016 22:57

Re: Determinant - zmena riadkov/vedlajsia diagonala

#8 19. 05. 2016 10:31 — Editoval aladar (19. 05. 2016 11:27)

Re: Determinant - zmena riadkov/vedlajsia diagonala

#9 19. 05. 2016 11:46 — Editoval vanok (19. 05. 2016 12:49)

Re: Determinant - zmena riadkov/vedlajsia diagonala

#10 19. 05. 2016 13:27

Re: Determinant - zmena riadkov/vedlajsia diagonala

#11 19. 05. 2016 13:34

Re: Determinant - zmena riadkov/vedlajsia diagonala

Zápatí