Matematické Fórum

jana_s · 15. 05. 2016 13:30

Dobrý den,

prosím o radu k příkladu z učebnice Stereometrie pro gymnázia 3.67 c) Pravidelný šestiboký hranol ABCDEFGHIJKL má podstavnou hranu délky a = 3cm, jeho boční stěny jsou čtverce. Určete vzdálenost přímek BK a CJ.

Jde o vzdálenost mimoběžek? Můžete mi prosím poradit s nalezením jejich příčky (kolmé k oběma)?

Téma už se řešilo zde: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=12547
Téma je vedeno jako vyřešené, ale c) přitom vyřešené není :(

Díky moc!

Jana

Jj · 15. 05. 2016 15:21 — Editoval Jj (15. 05. 2016 18:46)

↑ jana_s:

Dobrý den.

Ještě bych, zkusil jiný pohled - čelně proti straně CDJI:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-05/18035_Distanc.PNG

S ohledem na souměrnost bych řekl, že vzdálenost přímek CJ a BK se určí jako vzdálenost středu strany CDJI a středu obdélníku BEKH.

Pokud jsem něco nepřehlédl, tak vzdálenost vychází $\frac{\sqrt{3}}{2}\, a$

Edit - opraven překlep.

Jj · 15. 05. 2016 17:55 — Editoval Jj (15. 05. 2016 19:39)

↑ Al1:

Tak se na to ještě musím po chvíli podívat.

Tady ↑ Jj: jsem opravil překlep $$\sqrt{2}\rightarrow\sqrt{3}$$ , jinou chybu jsem nenašel.

misaH · 15. 05. 2016 19:20 — Editoval misaH (15. 05. 2016 19:39)

Ja myslím (podobne ako Jj- zdravím oboch :-)), že je to vzdialenosť stredov tých úsečiek, teda výška lichobežníka, ktorý je polovicou podstavy.

Čiže je to výška rovnostranného trojuholníka so stranou $a$ ( keď sa dávame cez vrchnú podstavu).

Ale nechce sa mi to podrobné rozoberať, možno sa mýlim.

Al1 · 15. 05. 2016 21:01

↑ jana_s: ↑ Jj: ↑ misaH:

Zdravím a všem se omlouvám za chybnou úvahu. Měl jsem oko z Kašparovy krávy. :-)

misaH · 15. 05. 2016 21:29 — Editoval misaH (20. 05. 2016 20:00)

↑ Al1:

:-)

Hehe -

Čo je to Kašparova kráva?

Al1 · 15. 05. 2016 21:33

↑ misaH:

Mít oko z Kašparovy krávy znamená odhadovat a vidět něco špatně (zvláště: křivě, nerovně, nesprávně rozmístěné nebo vzdálené). Přirovnání mající podobný význam je např. být na obě oči slepý.

misaH · 15. 05. 2016 21:35

↑ Al1:

:-)

Švanda... v živote som to nepočula :-)

Ďakujem.

jana_s · 20. 05. 2016 17:56

↑ Al1:↑ Jj:↑ misaH:

Díky moc všem za pokus mi pomoci.

V čem byla ↑ Al1: chyba? Spočítala jsem to podle vašeho doporučení a vyšlo mi to jako vám

$\frac{2\sqrt{5}}{5}a$ .

Ale v učebnici je (podivný) výsledek

$\frac{1}{2}a\sqrt{2\sqrt{10}-3}$

:(

misaH · 20. 05. 2016 18:40 — Editoval misaH (20. 05. 2016 20:25)

↑ jana_s:

Ahoj.

Takže chybička sa zrejme vloudila.
To asi tá kráva... :-)

Hľadaná vzdialenosť je výška lichobežníka KBCJ.

BC a KJ sú ramená dĺžky 3 cm.

Základne sú uhlopriečky:
CJ uhlopriečka štvorca so stranami 3cm, 3cm a
BK uhlopriečka obdĺžnika EBHK s dĺžkami strán 6cm a 3cm.

CJ má dĺžku $3\sqrt2$ a BK má dĺžku $3\sqrt5$ .

Klasickým postupom pre výpočet výšky rovnoramenného lichobežníka vyjde Tebou uvedená hodnota.

Po vyčíslení sú všetky tie dĺžky približne rovnaké - zaujímavé...
A aj tak nechápem, kde je chyba napríklad v mojej úvahe, možno by to chcelo vyrobiť model...:-)...

Honzc · 22. 05. 2016 09:47 — Editoval Honzc (22. 05. 2016 11:43)

↑ jana_s:,↑ misaH:
Zde je "model"

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Při výpočtu analytickou geometrií vychází:
$d|a,b|=\frac{|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot \vec{BA}|}{|\vec{a}\times\vec{b}|}$
Při vhodném umístění souřadné soustavy a délce hrany 1 máme:
$a(BK):(0,0,0)+t(1,\sqrt{3},1)$
$b(CJ):(1,0,0)+s(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},1)$
$\vec{BA}=(1,0,0)$
Pak
$\vec{a}\times\vec{b}=(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},0)$
$|\vec{a}\times\vec{b}|=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=1$
$|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot \vec{BA}|=|(\frac{\sqrt{3}}2,-\frac{1}{2},0)\cdot (1,0,0){}|=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$d=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Obecně $d=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
Pro náš případ a=3 $d=3\frac{\sqrt{3}}{2}$
Jak je vidět z výpočtu i konstrukce výsledek v učebnici je špatně.

Správný výpočet metodami středoškolské matematiky:
Vzdálenost mimoběžek (úseček) $|BK|$ a $|CJ|$ je vlastně vzdálenost jejich středů.
Při volbě kss ve středu šestiúhelníku podstavy a a=1 dostaneme:
$S_{1}=\frac{B+K}{2}=(0,0,\frac{1}{2})$
$S_{2}=\frac{C+J}{2}=(\frac{3}{4},-\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{1}{2})$
A tedy $d=\sqrt{\frac{9}{16}+\frac{3}{16}+0}=\sqrt{\frac{12}{16}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ještě abychom rozebrali ostatní výsledky:
1. $d=\frac{2\sqrt{5}}{5}a$ je vzdálenost bodu $C$ od úsečky $|BK|$
2. $d=\frac{\sqrt{2\sqrt{10}-3}}{2}a$ (to je výsledek z učenice) by byla výška lichoběžníku $KBCJ$ , pokud by ovšem uvedené body ležely v jedné rovině, (což ovšem neleží) takže takový lichoběžník neexistuje.

Matematické Fórum

#1 15. 05. 2016 13:30

Vzdálenost přímek v šestibokém hranolu

#2 15. 05. 2016 14:26 Příspěvek uživatele Al1 byl skryt uživatelem Al1. Důvod: chybná úvaha

#3 15. 05. 2016 15:21 — Editoval Jj (15. 05. 2016 18:46)

Re: Vzdálenost přímek v šestibokém hranolu

#4 15. 05. 2016 17:11 Příspěvek uživatele Al1 byl skryt uživatelem Al1. Důvod: chybná úvaha

#5 15. 05. 2016 17:55 — Editoval Jj (15. 05. 2016 19:39)

Re: Vzdálenost přímek v šestibokém hranolu

#6 15. 05. 2016 19:20 — Editoval misaH (15. 05. 2016 19:39)

Re: Vzdálenost přímek v šestibokém hranolu

#7 15. 05. 2016 21:01

Re: Vzdálenost přímek v šestibokém hranolu

#8 15. 05. 2016 21:29 — Editoval misaH (20. 05. 2016 20:00)

Re: Vzdálenost přímek v šestibokém hranolu

#9 15. 05. 2016 21:33

Re: Vzdálenost přímek v šestibokém hranolu

#10 15. 05. 2016 21:35

Re: Vzdálenost přímek v šestibokém hranolu

#11 20. 05. 2016 17:56

Re: Vzdálenost přímek v šestibokém hranolu

#12 20. 05. 2016 18:40 — Editoval misaH (20. 05. 2016 20:25)

Re: Vzdálenost přímek v šestibokém hranolu

#13 22. 05. 2016 09:47 — Editoval Honzc (22. 05. 2016 11:43)

Re: Vzdálenost přímek v šestibokém hranolu

Zápatí