Matematické Fórum

John09 · 22. 05. 2016 12:09

Zdravím vás, potřeboval bych pomoc s rovnicí tečny. Je dán bod $T[2;0]$ a rovnice paraboly $2x^{2}-3x+y-2=0$

Upravil jsem si to na $(x-\frac{3}{4})^{2}=-\frac{1}{2}*(y-\frac{25}{8})$
A jak se z toho teď udělá rovnice tečny?

gadgetka

Ahoj, např. vyjdeš z rovnice tečny:
$(x_0-m)(x-m)=-p(y_0-n)-p(y-n)$ , kde $x_0, y_0$ jsou souřadnice bodu doteku a $m, n$ jsou souřadnice vrcholu paraboly.

John09 · 22. 05. 2016 12:24

↑ gadgetka: Děkuju :). A proč tam je to mínus mezi $-p(y_0-n)-p(y-n)$ . Protože třeba u tečny třeba u kružnice to je : $(x_0-m)(x-m)+(y_0-n)*(y-n)=5$ a tam to mínus není...

gadgetka · 22. 05. 2016 12:31

Nebo vyjdeš ze směrnicové rovnice přímky: $y=kx+q$ , dosadíme bod $T$ :

$0=2k+q=> q=-2k\Rightarrow y= y=kx-2k$

přímka a parabola mají společný bod, proto přímku dosadíme do rovnice kuželosečky:
$2x^{2}-3x+kx-2k-2=0$
$2x^2-x(3-k)-(2k+2)=0$

A kdy má kuželosečka s přímkou společný právě jeden bod? Když $D=0$ :
$(3-k)^2+8(2k+2)=0$

gadgetka · 22. 05. 2016 12:34

↑ John09:

Obecná rovnice paraboly, jejíž osa je rovnoběžná s osou $y$ a je konkávní, je:
$(x-m)^2=- 2p(y-n)$
(což je tvůj případ)

pak rovnice tečny je
$(x_0-m)(x-m)=-p(y_0-n)-p(y-n)$

John09 · 22. 05. 2016 12:36

↑ gadgetka: Já bych to mohl vypočítat i přes derivace, ale právě bych chtěl vědět, jak se to počítá přes tu tečnu, že kdyby tam bylo napsáno řešit tím způsobem nahoře, jak jsem psal. A právě jsem se u toho sekl, že v tabulkách to není a já bych potřeboval vysvětlit, proč tam je to mínus a u kružnice zase není, protože nevím, jestli si to zapamatuju.

John09 · 22. 05. 2016 12:39

↑ gadgetka: Aha, děkuju :)

gadgetka · 22. 05. 2016 12:43

Kružnice je jen kružnice. U paraboly rozlišujeme, zda je její osa rovnoběžná s osou x nebo s osou y a zda je konvexní nebo konkávní. A to mínus jsi určil ty sám. Jakmile je v rovnici paraboly, je i v rovnici tečny. Pamatovat si to nemusíš. Vyjdeš z toho, co vypočítáš.

Matematické Fórum

#1 22. 05. 2016 12:09

Parabola- rovnice tečny

#2 22. 05. 2016 12:15 — Editoval gadgetka (22. 05. 2016 12:17)

Re: Parabola- rovnice tečny

#3 22. 05. 2016 12:24

Re: Parabola- rovnice tečny

#4 22. 05. 2016 12:31

Re: Parabola- rovnice tečny

#5 22. 05. 2016 12:34

Re: Parabola- rovnice tečny

#6 22. 05. 2016 12:36

Re: Parabola- rovnice tečny

#7 22. 05. 2016 12:39

Re: Parabola- rovnice tečny

#8 22. 05. 2016 12:43

Re: Parabola- rovnice tečny

Zápatí