Matematické Fórum

marketa0007777 · 22. 05. 2016 20:25

Dobrý den, potřebovala bych pomoct s tímto příkladem
Najděte lokální extrémy funkce f(x, y) = $3x^{2} + 2y^{2} -6x -8y + 5$ na množině $R^{2}$

Udělala jsem si parciální derivace a z toho mi vyšel stacionární bod (1,2), to jsem dosadila zpětně do rovnice za x a y a vyšlo mi -6. Jak ale poznám, zda jde o minimum či maximum?

Marian · 22. 05. 2016 20:29 — Editoval Marian (22. 05. 2016 20:29)

↑ marketa0007777:

Pro určení povahy lokálních extrému funckí dvou reálných proměnných lze použít hodnotu (resp. znaménko) hessiánu ve stacionárním bodě. K tomu budou nutné druhé derivace...

Poznámka: V uvedeném případě lze dokonce (alternativně) určit lokální extrém přepisem předpisu funkce doplněním na čtverec.

marketa0007777 · 22. 05. 2016 20:36

↑ Marian: nešlo by to prosím trochu přesněji? Vím, že v mém příkladu je výsledek -6 a jde o lokální minimum, ale nevím, jak zjistit, že jde právě o minimum. Metodu hessiánu znám, ale v testu budu mít jen takto jednoduchý příklad, kde mám určit stanionární body a extrém

Marian · 22. 05. 2016 20:52 — Editoval Marian (22. 05. 2016 20:52)

↑ marketa0007777:

Chci-li určit povahu stacionárního bodu, mám de facto dvě možnosti. Tou první je hessián (standardní cesta) a druhou definice lokálního extrému (alternativní cesta, někdy však jediná možná). Tvá úloha se dá vyřešit obojím způsobem.

Musíš si vybrat, kudy mám směřovat diskusi.

marketa0007777 · 22. 05. 2016 22:31

↑ Marian: dobře teda, jak na tu druhou možnost, dle definice?

Marian · 23. 05. 2016 05:18 — Editoval Marian (23. 05. 2016 10:32)

↑ marketa0007777:

Upravme předpis funkce úpravou doplněním na čtverec takto:

$\usepackage{xcolor} \parstyle 3x^2+2y^2-6x-8y+5 &=\left (3x^2-6x\right )+\left (2y^2-8y\right )+5\\ &=3\left (x^2-2x\right )+2\left (y^2-4y\right )+5\\ &=3\left [\left ({\color{purple}x^2-2x+1}\right )-1\right ]+2\left [\left ({\color{purple}y^2-4y+4}\right )-4\right ]+5\\ &=\cdots\\ &=3{\color{purple}(x-1)^2}+2{\color{purple}(y-2)^2}-6.$

Dále využíváme toho, že sudé mocniny lineárních členů nabývají absolutního minima v takovém bodě, ve kterém je lineární člen nulový, tj.

$\min_{x\in\mathbb R}(x-1)^2 =(x-1)^2\Bigr |_{x=1}=0,\\[2mm] \min_{y\in\mathbb R}(y-2)^2 =(y-2)^2\Bigr |_{y=2}=0.$

Odtud máme

$\min_{(x,y)\in\mathbb R^2}f(x,y) =\min_{(x,y)\in\mathbb R^2}\left [3(x-1)^2+2(y-2)^2-6\right ] =0+0-6=-6.$

Toto absolutní minimum evidentně nastává v bodě (x,y)=(1,2), jak uvádíš i ve svém příspěvku.

Matematické Fórum

#1 22. 05. 2016 20:25

stacionární body, lokální extrém

#2 22. 05. 2016 20:29 — Editoval Marian (22. 05. 2016 20:29)

Re: stacionární body, lokální extrém

#3 22. 05. 2016 20:36

Re: stacionární body, lokální extrém

#4 22. 05. 2016 20:52 — Editoval Marian (22. 05. 2016 20:52)

Re: stacionární body, lokální extrém

#5 22. 05. 2016 22:31

Re: stacionární body, lokální extrém

#6 23. 05. 2016 05:18 — Editoval Marian (23. 05. 2016 10:32)

Re: stacionární body, lokální extrém

Zápatí