Matematické Fórum

Tanner · 26. 05. 2016 14:24

Zdravím, potřeboval bych poradit s příkladem, abych řekl pravdu..vůbec si nevím rady..

Nechci tady vypisovat celou množinu, jsou zadané rovnice

$\log_{1/2}x<4, x\le 6$

Dejme tomu, že graf si nakreslím správně...

Mám zapsat množinu pomocí intervalů a

a) Určit vnitřek, uzávěr, hranici , množinu všech hromadných bodů, izolované body množiny M
b)určit min M, inf M, max M, sup M

A abych řekl pravdu tak vůbec nevím, jak to udělat..respektive co znamenají vlastně ty pojmy v "ačku"

P.S..Dá se to nějak ověřit i s wolframem ? Konkrétně jak zadat ten vnitřek, uzávěr, hranici, množinu všech hromadných bodů a izolované body ?

Rumburak

↑ Tanner:
Ahoj.

Nerovnice $\log_{1/2}x<4$ je ekvivalentní s nerovnicí $$\frac{1}{2}$^{\log_{1/2}x} > $\frac{1}{2}$^4$ .
Otočení znaménka nerovnosti plyne z toho, že expon. fce o základu 1/2 je klesající.
Z poslední nerovnice dostaneme $x > $\frac{1}{2}$^4 = \frac{1}{16}$ , konjunkcí s podmínkou $x\le 6$ obdržíme

(1) $x \in \(\frac{1}{16} , 6 \]$ .

Polouzavřený interval z (1) patrně má být onou množinou $M$ (???).

EDIT. Ale o tom se jen dohaduji - sám píšeš, že množinu $M$ neuvádíš.

Nyní je potřeba si ujasnit přečtením příslušných definic, co je to isolovaný resp. hromadný resp. vnitřní (atd.)
bod množiny $M$ a dle toho rozhodnout.

Tanner · 26. 05. 2016 14:45 — Editoval Tanner (26. 05. 2016 14:48)

Noo, že x platí takhle :

$\frac{1}{16}<x\le 6$

Myslíš tohle ?

Takže z toho vlastně dostanu hranici a uzávěr?

Rumburak · 26. 05. 2016 14:58

↑ Tanner:

Svůj předchozí příspěvek jsem ještě doplnil.

Tanner · 26. 05. 2016 15:01 — Editoval Tanner (26. 05. 2016 15:32)

↑ Rumburak:

No, ty definice mě právě matou, abych řekl pravdu, nejsem schopný si to z toho nijak vysvětlit..

Každopádně teda M= { $x\in R; \log_{1/2}x<4, x\le 6$ }

A z toho intervalu, co jsi napsal, se tedy dá určit "bčko"? max, min, inf, sup..? maximum=supremum=6..inf=1/16..min M neexistuje ?

EDIT: Ještě tedy doplnuji, že funkci mam zapsat pomocí intervalů, omlouvám se

Rumburak

↑ Tanner:

1. Vnitřní bod množiny $M$ je takový její bod, jehož některé okolí (byť by bylo jakkoliv malé) je částí množiny $M$ .
Vnitřek množiny $M$ je množina všech jejích vnitřních bodů. Množina, která je rovna svému vnitřku, se nazývá otevřená.

2. Uzávěr množiny $M$ je množina všech takových bodů $x$ , které mají vlastnost

A(x) : V libovolném okolí bodu $x$ existuje aspoň jeden bod množiny $M$ .

Do uzávěru množiny $M$ tedy zřejmě patří jednak body množiny $M$ , avšak vedle nich tam moho patřit i některé body další.
Množna, která je rovna svému uzávěru, se nazývá uzavřená.

3. Isolovaný bod množiny $M$ je takový její bod, jehož některé okolí neobsahuje z množiny $M$ už žádný další bod.

4. Hromadný bod množiny $M$ je takový bod (ať již patří do $M$ či ne), jehož libovolné okolí obsahuje nekonečně mnoho bodů
množiny $M$ .

5. Hraniční bod množiny $M$ je takový bod (ať již patří do $M$ či ne), který patří jak do uzávěru množiny $M$ ,
tak i do uzávěru doplňku množiny $M$ . Všechny hraniční body mn. $M$ tvoří hranici množiny $M$ (a zároveň i hranici
doplňku množiny $M$ ).

Promysli si to pomocí obrázků.

Rumburak · 26. 05. 2016 16:03

↑ Tanner:

Maximum množiny je její největší prvek, zatímco supremum množniny je její nejmenší horní závora,
což není úplně totéž. Největší prvek množiny (existuje-li) je zároveň i jejím supremem, avšak supremum
množiny může existovat i tehdy, když tato množina největší prvek nemá.

Tanner · 26. 05. 2016 19:27

Tak znovu, jestli jsem to správně pochopil..Interval mam zakreslený správně (zkontrolování s WA)..

Min M neexistuje, infimum je 1/16
Max M=Sup M=6

Vnitřní bod je (1/16;6) ..Uzávěr množiny <1/16;6>..Izolované body $(-\infty ;1/16)$ ..hranice je $\{1/16;6\}$
a množina všech hromadných bodů (1/16;6) ?

Rumburak · 27. 05. 2016 10:33

↑ Rumburak:
V bodech 3 , 4, 5 jsem provedl některé opravy a upřesnění - omlouvám se zmatky.

↑ Tanner: Ano.

Vyjasnili jsme si, že $M = \(\frac{1}{16} , 6 \]$

Min M neexistuje, infimum je 1/16 , Max M=Sup M=6

Ano.

Vnitřní bod je (1/16;6)

Správně bychom měli říci "vnitřními body mn. M jsou body intervalu (1/16;6) "
nebo též "vnitřkem mn. M je interval (1/16;6) "

Uzávěr množiny M je <1/16;6>

Ano.

..Izolované body $(-\infty ;1/16)$

Ne. Isolované body množina M nemá. (Tu definici jsem včera nějak popletl - ještě jednou se omlouvám. )

Příklad: Isolovaným bodem množiny (0, 1) U {2} je bod 2 .

hranice je $\{1/16;6\}$

Ano.

množina všech hromadných bodů (1/16;6)

Ne. Množina všech hromadných bodů je zde <1/16;6> , V TOMTO PŘÍPADĚ tedy uzávěr dané množiny
(což ovšem obecně neplatí: např. jednoprvková množina žádný hromadný bod nemá, avšak je totožná
se svým uzávěrem, který je ale neprázdný).

Tanner · 27. 05. 2016 16:06

Dobře, dekuju moc ! :) Snad jsem to z toho nejak pochytil..dávám vyřešeno :)

Matematické Fórum

#1 26. 05. 2016 14:24

Vlastnosti množiny

#2 26. 05. 2016 14:41 — Editoval Rumburak (26. 05. 2016 15:02)

Re: Vlastnosti množiny

#3 26. 05. 2016 14:45 — Editoval Tanner (26. 05. 2016 14:48)

Re: Vlastnosti množiny

#4 26. 05. 2016 14:58

Re: Vlastnosti množiny

#5 26. 05. 2016 15:01 — Editoval Tanner (26. 05. 2016 15:32)

Re: Vlastnosti množiny

#6 26. 05. 2016 15:54 — Editoval Rumburak (27. 05. 2016 09:59)

Re: Vlastnosti množiny

#7 26. 05. 2016 16:03

Re: Vlastnosti množiny

#8 26. 05. 2016 16:24 Příspěvek uživatele Tanner byl skryt uživatelem Tanner.

#9 26. 05. 2016 19:27

Re: Vlastnosti množiny

#10 27. 05. 2016 10:33

Re: Vlastnosti množiny

#11 27. 05. 2016 16:06

Re: Vlastnosti množiny

Zápatí