Matematické Fórum

MiškaH · 06. 05. 2012 12:44

Ahoj, prosím o pomoc při řešení příkladu viz. níže. Je to příklad k přijímačkám na VŠ, výsledek mám ( $(x-4)^{2}+(y-1)^{2}=5$ ), ale bez postupu mi to je k dalšímu počítání k ničemu.

Zkoušela jsem to počítat přes 3 rovnice pro 3 neznámé: s1, s2, r, ale nevyšlo mi to :(
Děkuji!

Příklad: Rovnici kružnice opsané trojúhelníku, jehož vrcholy jsou body A=[5,3], B=[3,-1], C=[2,2], lze napsat ve tvaru:

PureL · 06. 05. 2012 13:37 — Editoval PureL (06. 05. 2012 13:45)

Zkus si určit středy stran a směrové vektory jednotlivých stran, které se rovnají normalovým vektorům jejich os. Střed kružnice opsané je v průsečíky os stran

mal84 · 06. 05. 2012 13:51

↑ MiškaH:

Ahoj.
Abychom určili rovnici kružnice opsané trojúhelníku, je třeba určit souřadnice středu této kružnice a její poloměr.
Co víme o středu kružnice opsané trojúhelníku? Jedná se o průsečík os stran trojúh..
Analyticky si tedy vyjádříme libovolné 2 osy trojúhelníka, např. osu na stranu AB a osu na stranu AC.

Osa na stranu AB: je kolmá na tuto stranu a prochází jejím středem, označme si jej $S_{1}$ .
Pak $S_{1}=\frac{A+B}{2}=[\frac{5+3}{2};\frac{3-1}{2}]=[4;1]$
Obecná rovnice osy $o_{1}$ (přímky): $ax+by+c=0$ . Pak koeficienty $a, b$ představují souřadnice normálového vektoru této přímky (osy): $\overrightarrow{n}_{o_{1}}=\overrightarrow{u}_{AB}=(1,2)$ .
Poté $o_{1}: x+2y+c=0$ , bod $S_{1}\in o_{1}$ , tedy dopočítáme koeficient $c=-6$ .
Tedy: $o_{1}: x+2y-6=0$

Analogicky získáme osu $o_{2}$ na stranu AC: $o_{2}: 3x+y-13=0$ .

Nyní střed kružnice $S=o_{1}\cap o_{2}=[4;1]$

No a poloměr kružnice získáme jako vzdálenost středu S od některého vrcholu trojúhelníka, např. od bodu A. Můžeme počítat také jako velikost vektoru $|\overrightarrow{AS}|=|(1;2)|=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$ .

Nyní máme všechny údaje pro napsání středové rovnice kružnice..

MiškaH · 06. 05. 2012 14:05

↑ mal84:

A z čeho jsi prosím určil tohle: $\overrightarrow{n}_{o_{1}}=\overrightarrow{u}_{AB}=(1,2)$ ?

Jinak mi to dává smysl, akorát nevím odkud vzít ten vektor :(

Díky!

PureL · 06. 05. 2012 14:08 — Editoval PureL (06. 05. 2012 14:10)

↑ MiškaH:
$\overrightarrow{u}_{AB} = B - A = (5-3;3+1) = (2;4) \sim (1;{}2)$

MiškaH · 06. 05. 2012 14:32

↑ PureL:

Ježíš, no jo :-X

Já jsem matematiku přes rok neviděla ani očkem, takže teď se mi tu skládají malé střípky znalostí :-D

Díky moc!

Simon P40

zpetne na to koukam a premyslim...

vektor z toho je
normalovy je tedy nebo jestli se nemylim (?)

jelena · 19. 09. 2012 11:57

↑ Simon P40:

Zdravím,

když sestavuješ obecnou rovnici osy na stranu AB, potom normálový vektor osy je totéž jako směrový vektor strany AB, tedy $\overrightarrow{n}_{o_{1}}=\overrightarrow{u}_{AB}=(-2,-4)$ , což po úpravě dává vektor, který používá kolega $\overrightarrow{n}_{o_{1}}=\overrightarrow{u}_{AB}=(1,2)$ .

K čemu se vztahuje Tvůj dotaz? Děkuji.

Simon P40 · 19. 09. 2012 12:23

jo aha, uz to vidim. diky

Cheop · 19. 09. 2012 13:41 — Editoval Cheop (19. 09. 2012 13:42)

↑ Simon P40:
V tomto přípsdě se jedná o pravoúhlý trojúhelník pravý úhel při vrcholu C
Střed kružnice opsané je uprostřed strany AB poloměr je 1/2 strany AB

kristyna1111 · 01. 06. 2013 15:06

Dobrý den,
muzu se zeptat, jak jsme z dvou rovnic zjistili střed kružnice 4,1?
Děkuji

Simon P40 · 01. 06. 2013 15:31

$S=o_{1}\cap o_{2}=[4;1]$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% … 2By-13%3D0

pextr2142 · 28. 05. 2016 11:40

Jak jste prosím přišli na ten koeficient? "tedy dopočítáme koeficient $c=-6$ ."

Al1 · 28. 05. 2016 12:14

↑ pextr2142:

Zdravím,

do rovnice $o_{1}: x+2y+c=0$ jsou dosazeny souřadnice bodu $S_{1}[4;1]$ , neboť daná přímka jím prochází

pextr2142 · 28. 05. 2016 12:41

Zdravím, to chápu, jen nemůžu přijít na to, jak dopočítat c

Cheop · 28. 05. 2016 13:16

↑ pextr2142:
Do rovnice
$o_{1}: x+2y+c=0$ dosad9me sou5adnice S=4;1 a dostaneme
$4+2+c=0$

pextr2142 · 28. 05. 2016 14:18

aha dík moc, poslední problém, co mám je jak zjistím ten průsečík o1 a o2 :/

vanok · 28. 05. 2016 14:25 — Editoval vanok (28. 05. 2016 14:41)

Poznamka, pre tych co maju este spomienky z analytickej geometrie ( este sa to uci?).
Hladana rovnica sa da napisat ako tento determinant.
$|x^2+y^2 x y 1|$
$|x_A^2+y_A^2 x_A y_A 1|$
$|x_B^2+Y_B^2 x_B y_B 1|$ $=0$
$|x_C^2+y_C^2 x_C y_C 1|$

Trochu podrobnejsie http://mathworld.wolfram.com/Circumcircle.html

Su este aj ine metody. No na to treba trochu teorie... A ta sa dnes uz skoro nikde neuci. :-(

John09 · 28. 05. 2016 16:25

Zdá se mi, že to všichni řešíte příliš složitě. Stačí si vzpomenout na rovnici kružnice. Ta je $(x-m)^{2}+(y-n)^{2}=r^{2}$
Mám zadané tři body, které leží na kružnici- $A[5,3], B[3,-1], C[2,2]$ . Každý z těch bodů dosadím do kružnice. To znamená- $(5-m)^{2}+(3-n)^{2}=r^{2}$ - to je první bod a tak dosadím i ty ostatní. Dostanu soustavu tří rovnic. Sečtu první s druhou- tím si odstraním neznámé a zbudou mi pouze dvě neznámé. Pak vezmu první rovnici a odečtu ji s třetí- tím se mi také eliminují neznámé a mám opět dvě neznámé. Pak to vyřeším jako soustavu dvou rovnic.
Vyjde m=4 a n=1, což je střed. Poté vypočtu poloměr a hotovo :-)

vanok · 28. 05. 2016 17:30 — Editoval vanok (29. 05. 2016 14:08)

Ahoj ↑ John09:,
Tvoja poznamka, funguje pomerne dobre lebo tvoj trojuholnik je pravouhly.
Kolegovia tu dali rady na vseobecnu situaciu, co je uzitocnejsie vediet.
Tu v tejto situacii ked konstatujes ze mas pravouhly trojuholnik,
tak riesenie je skoro automaticke.
Stred kruznice = stred prepony
Priemer = dlzka prepony.... Ako to uz napisal aj kolega ↑ Cheop:

jelena · 29. 05. 2016 10:47

Zdravím,

↑ vanok: soustava 3 rovnic bude fungovat i pro případ každých 3 bodů na kružnici (dle postupu ↑ John09: a ↑ 1. příspěvek:), nemusí být nutně pravoúhlý? Je to tak?

Determinant (a další postupy) jsme diskutovali např. zde, bohužel ale část odkazu nefunguje. Ještě v doplnění k zadání - pokud je úloha z testu, kde je nabídka výsledků pro výběr, tak stačilo dosazovat zadané body do nabízených výsledků (podle znění úlohy to tak bude). ↑ vanok: :-) to je takové modernější, co se učí a neučí (učí se dosazovat do výsledku).

vanok · 29. 05. 2016 13:00

↑ jelena:
Pozdravujem,
Postupy co bolo vyssie napisane pochopitelne platia vseovecne. A na viac su vyhodne v tom, ze treba na to trochu viac ako dosadenie do jedneho vzorca ( treba trochu geometrickej vizie ).
To ze trojuholnik je pravouhly da ozaj trivialne riesenie,( No to mozno kazdy nepostrehne, ze ide o taky trojuholnik) ale aj tak to casto zjednodusi vypocty v inych metodach.
To dosadzovanie do vzorca (=podla mna matematicka kuchyna) je skor uzitocne na overenie vysledku.
Ten vzorec je tak ci tak dokazany v odkaze co som dal v ↑ vanok:.
( i ked je trochu odvazne lebo ide o determinant typu (4,4))
Tvoj odkaz na tuto temu, je tiez poucny pre foristov.

Co sa tyka inych teorii na tuto temu, o tych mozno raz otvorim nove vlakno.

misaH · 29. 05. 2016 13:17 — Editoval misaH (29. 05. 2016 13:21)

Myslím, že ďaleko najjednoduchšie riešenie je dosadiť do všeobecnej rovnice kružnice - nie do stredovej.

$x^2 + y^2 +Ax + By + C = 0$

Vyjdú 3 lineárne rovnice o 3 neznámych.

Matematické Fórum

#1 06. 05. 2012 12:44

Rovnice kružnice opsané trojúhelníku

#2 06. 05. 2012 13:37 — Editoval PureL (06. 05. 2012 13:45)

Re: Rovnice kružnice opsané trojúhelníku

#3 06. 05. 2012 13:51

Re: Rovnice kružnice opsané trojúhelníku

#4 06. 05. 2012 14:05

Re: Rovnice kružnice opsané trojúhelníku

#5 06. 05. 2012 14:08 — Editoval PureL (06. 05. 2012 14:10)

Re: Rovnice kružnice opsané trojúhelníku

#6 06. 05. 2012 14:32

Re: Rovnice kružnice opsané trojúhelníku

#7 18. 09. 2012 18:08 — Editoval Simon P40 (18. 09. 2012 18:12)

Re: Rovnice kružnice opsané trojúhelníku

#8 19. 09. 2012 11:57

Re: Rovnice kružnice opsané trojúhelníku

#9 19. 09. 2012 12:23

Re: Rovnice kružnice opsané trojúhelníku

#10 19. 09. 2012 13:41 — Editoval Cheop (19. 09. 2012 13:42)

Re: Rovnice kružnice opsané trojúhelníku

#11 01. 06. 2013 15:06

Re: Rovnice kružnice opsané trojúhelníku

#12 01. 06. 2013 15:31

Re: Rovnice kružnice opsané trojúhelníku

#13 28. 05. 2016 11:40

Re: Rovnice kružnice opsané trojúhelníku

#14 28. 05. 2016 12:14

Re: Rovnice kružnice opsané trojúhelníku

#15 28. 05. 2016 12:41

Re: Rovnice kružnice opsané trojúhelníku

#16 28. 05. 2016 13:16

Re: Rovnice kružnice opsané trojúhelníku

#17 28. 05. 2016 14:18

Re: Rovnice kružnice opsané trojúhelníku

#18 28. 05. 2016 14:25 — Editoval vanok (28. 05. 2016 14:41)

Re: Rovnice kružnice opsané trojúhelníku

#19 28. 05. 2016 16:25

Re: Rovnice kružnice opsané trojúhelníku

#20 28. 05. 2016 17:30 — Editoval vanok (29. 05. 2016 14:08)

Re: Rovnice kružnice opsané trojúhelníku

#21 29. 05. 2016 10:47

Re: Rovnice kružnice opsané trojúhelníku

#22 29. 05. 2016 11:54 — Editoval misaH (29. 05. 2016 11:58) Příspěvek uživatele misaH byl skryt uživatelem misaH.

#23 29. 05. 2016 13:00

Re: Rovnice kružnice opsané trojúhelníku

#24 29. 05. 2016 13:17 — Editoval misaH (29. 05. 2016 13:21)

Re: Rovnice kružnice opsané trojúhelníku

Zápatí