Matematické Fórum

fyzika · 29. 05. 2016 19:25

Zdravim,
ako mám postupovať pri takomto type diferencialnej rovnice?
Diky moc :)
derivované $\alpha _{k} =-k^{2}\alpha _{k}+s_{k}$ a $\alpha _{k}(0)=0$
Riešenie v tvare $\alpha _{k}(t)=\frac{s_{k}}{k^{2}}(1-e^{-k^{2}t})$

Jj · 29. 05. 2016 21:01

↑ fyzika:↑ fyzika:

Dobrý den.

Separovaná diferenciální rovnice --> separovat proměnné a integrovat.

fyzika · 29. 05. 2016 21:42 — Editoval fyzika (29. 05. 2016 21:58)

↑ Jj: takto ?
$\int_{}^{}d\alpha \frac{\alpha _{k}}{\alpha _{k}}=\int_{}^{}(\-k^{2}+\frac{s_{k}}{\alpha _{k}})d\alpha$ ? :)

Jj · 30. 05. 2016 09:30

↑ fyzika:

To nedává smysl. Řekl bzch, že pokud $\alpha_{k}' =-k^{2}\alpha _{k}+s_{k}$ , tak

$\int\frac{d\alpha_{k}}{-k^{2}\alpha _{k}+s_{k}}=\int dt$

fyzika · 30. 05. 2016 10:21 — Editoval fyzika (30. 05. 2016 10:30)

↑ Jj:ok, riešim to, no vychádza mi:
substitúcia: $-a^{2}\alpha _{k}+s_{k}=x$ ,
$d\alpha _{k}=\frac{dx}{-a^{2}}$ ,
teda po integracii: $-\frac{1}{k^{2}}ln(-k^{2}\alpha _{k}+s_{k})=t$ ,
následne: $k^{2}\alpha _{k}+s_{k}=e^{-k^{2}t}$ ,
neviem kde sa mi stratilo jedno $s_{k}$ ?
Lebo mne finálne vyšlo: $\alpha _{k}(t)=\frac{1}{k^{2}}(e^{-k^{2}t}-s_{k})$
a riešenie má byť v tvare $\alpha _{k}(t)=\frac{s_{k}}{k^{2}}(1-e^{-k^{2}t})$

Jj · 30. 05. 2016 11:10 — Editoval Jj (30. 05. 2016 11:38)

↑ fyzika:

Nezapomínat na integrační kostantu:

$\ln|-k^{2}\alpha _{k}+s_{k}|=-k^{2}t+C\Rightarrow \cdots \Rightarrov \alpha _{k}=\frac{s_{k}}{k^{2}}+C_1 e^{-k^{2}t}$

Hodnotu konstanty C1 stanovit dosazením počáteční podmínky.

fyzika · 30. 05. 2016 12:12

↑ Jj: Ďakujem, po tvrdom boji to našťastie vyšlo, áno mali ste pravdu, zabudol som na konštantu. Koonštanta vyšla $c=s_{k}$ a po úprave to vyšlo do požadovanej formy. :)

Matematické Fórum

#1 29. 05. 2016 19:25

diferencialna rovnica

#2 29. 05. 2016 21:01

Re: diferencialna rovnica

#3 29. 05. 2016 21:42 — Editoval fyzika (29. 05. 2016 21:58)

Re: diferencialna rovnica

#4 30. 05. 2016 09:30

Re: diferencialna rovnica

#5 30. 05. 2016 10:21 — Editoval fyzika (30. 05. 2016 10:30)

Re: diferencialna rovnica

#6 30. 05. 2016 11:10 — Editoval Jj (30. 05. 2016 11:38)

Re: diferencialna rovnica

#7 30. 05. 2016 12:12

Re: diferencialna rovnica

Zápatí