Matematické Fórum

Tanner · 27. 05. 2016 21:59 — Editoval Tanner (27. 05. 2016 22:01)

Zdravím,

Mám zadanou množinu $M=\{x\in ^{}R_{0}^{+_{}};|x-5|>3\}$

Zakreslil jsem interval, zapsal jako $<0,2)\cup (8,\infty )$ (Je to správně, doufám?)

A teď mám určit Vnitřek, uzávěr, hranici, množinu všech hromadných bodů a izolované body M
A určit min M, inf M, max M a sup M

Hádám, že min M=inf M=0
maximum a supremum neexistuje ?

A Teď ke vnitřku, mám ten interval zapsat normálně jako $(0,2)\cup (8,\infty )$ ?
Uzávěr - tady mi nesedí to, že by mělo být $\infty$ v hranaté závorce, tudíž je možné, že množina uzávěr nemá?
hranice, krajní body intervalu.. $\{0,2,8\}$ ?
Množina všech hromadných bodů - opět netuším vůbec
A izolované body množina nemá..

Rád bych poprosil o doplnění, respektive vysvětlení především těch bodů (vnitřek apod.)

Děkuji za odpověď a přeji příjemný den :)

Rumburak

↑ Tanner:
Zdravím také

Množina $M = <0,2)\cup (8,\infty )$ je zjištěna správně.

"min M=inf M=0" je správně

"maximum v M neexistuje" je správně,

"supremum M neexistuje" - to závisí na tom, zda jste definici suprema rozšířili i na množiny, které nejsou
shora omezené, tj. nemají žádnou horní závoru. Supremum takových množin je dodefinováno hodnotou $+\infty$ .

Vnitřek je určen správně.

Že isolované body množina M nemá, je správně.

Odtud plyne, že každý její bod je jejím hromadným bodem.

Dalšími jejími hromadnými body jsou 2, 8 , protože v každém okolí každého u nich se nalézá nekonečně mnoho
bodů množiny M.

Uzávěr množiny M dostaneme jako sjednocení M U H , kde H je množina těch hromadných bodů množiny M, které
nepatří do M (což platí obecně), takže uzávěrem množiny M bude $<0,2>\cup <8,\infty )$ .

"Pojmy" jsme probírali v jednom z Tvých předchozích vláken. Zbývá tem něco k dovysvětlení ?

Tanner · 28. 05. 2016 14:49

↑ Rumburak:

Nebyl jsem si jistý, jak je to v určování vlastností co se týče nekonečna, jen pro úplnost teda..

Hromadné body bych mohl zapsat jako $<0,2>\cup <8,\infty )$ ?

A hranice (krajní body intervalu) můžu zapsat jako $\{0,2,8\}$ ?

Rumburak

↑ Tanner:
Ano, to je správně.

Jen drobná poznámka: tyto (topologické) vlastnosti množin jsou obecně závislé na tom, co považujeme za
"základní" prostor. Například úsečku můžeme vnímat nejen jako podmnožinu jisté přímky , ale také jako
podmnožinu určité roviny, což může vést k různým výsledkům. Například úsečka bez krajních bodů je otevřenou
podmnožinou přímky, v níž leží, avšak NENÍ otevřenou podmnožinou roviny, v níž leží.

Abychom se vyhnuli těmto potížím, říkáme např. "množina A je otevřená v Z", kde Z značí prostor, v němž je úloha zadána,
v případě této úlohy bude zřejmě $Z=R_{0}^+$ .

bedrnik · 30. 05. 2016 13:35

↑ Tanner:

Zdravím,
poznámka ↑ Rumburak: ohledně prostoru $Z$ je důležitá.

Jen bych doplnil, že výše diskutované řešení je platné pro $Z = R$ .

V případě $Z = R_0^+$ je třeba dávat pozor na skutečnost, že intervaly typu $<0, x)$ (x>0) jsou otevřené v $R^+_0$ . Takže i množina $M$ je otevřená v $R^+_0$ a rovná se tedy i svému vlastnímu vnitřku. Hranice množiny $M$ v $R^+_0$ je pak $\{2,8\}$ .

Matematické Fórum

#1 27. 05. 2016 21:59 — Editoval Tanner (27. 05. 2016 22:01)

Množina, vlastnosti, intervaly

#2 28. 05. 2016 11:06 — Editoval Rumburak (28. 05. 2016 11:09)

Re: Množina, vlastnosti, intervaly

#3 28. 05. 2016 14:49

Re: Množina, vlastnosti, intervaly

#4 30. 05. 2016 09:41 — Editoval Rumburak (30. 05. 2016 10:58)

Re: Množina, vlastnosti, intervaly

#5 30. 05. 2016 13:35

Re: Množina, vlastnosti, intervaly

Zápatí