Matematické Fórum

pavelka.a · 31. 05. 2016 09:45

Zdravím, chtěl bych se zeptat, když mám rovnici $|y|=e^{2ln|x|+^{}\frac{1}{x}+e^{c^{}}}$ , pak je výsledek
$y=\mp e^{c}x^{2}e^{\frac{1}{2}}$ , kde se vzalo $x^{2}$ . Děkuji za odpověď.

Rumburak · 31. 05. 2016 10:10

↑ pavelka.a:
Ahoj.

Pro $x \ne 0$ je

$|y|=e^{2ln|x|+^{}\frac{1}{x}+e^{c^{}}} = e^{2ln|x|} e^{\frac{1}{x}} e^{e^c}$ ,

kde $e^{2ln|x|} = (e^{ln|x|})^2 = |x|^2 = x^2$ , pokud $x$ je reálné.

Výsledek, který uvádíš, je ale jako celek špatně.

pavelka.a · 31. 05. 2016 10:20

jsem se přepsal...místo $e^{\frac{1}{2}}$ má být $e^{\frac{1}{x}}$

Lze tento vztah nějak odvodit? Nějak v tom nevidím souvislosti. Děkuji za odpověď.

Rumburak

↑ pavelka.a:

Výsledek $y=\mp e^{c}x^{2}e^{\frac{1}{x}}$ už je o něco lepší, ale je tam ještě jedna chyba (v prvním činiteli).
Odvození plyne snadno ze základních vztahů $e^{u + v} = e^u e^v, e^{uv} = (e^u)^v$ , které se rovněž dají odvodit,
ale je to poněkud náročnější (a závislé na způsobu, jakým je exponenciální funkce zavedena),

pavelka.a · 31. 05. 2016 10:54

A jaktože tedy zmizel logaritmus? Je na to nějaký vzorec?

konkrétně tato úprava: $(e^{^{ln|x|}})^{2}=x^{2}$

Rumburak

↑ pavelka.a:

Funkce $t \mapsto \ln t$ je obvykle definována jako inversní funkce k funkci $w \mapsto e^w$ , to znamená, že vztah

(1) $\ln t = w$

je splněn právě tehdy, když

(2) $t = e^w$ .

Dosadíme-li do (2) za $w$ z (1) , dostaneme $t = e^{\ln t}$ , kteroužto identitu dále aplikujeme na $t = |x|$ .

Že $|x|^2 = x^2$ pro reálné $x$ je snad jasné.