Matematické Fórum

DavidMath · 31. 05. 2016 22:19

Dobrý den,
Věděl by, prosím, někdo tento příklad?

Myslím si, že jsem zakreslil správně, tedy kružnice o poloměru √2. ρ je tedy jasné, od nuly do √2!

Jak je to ale s Fí? Vždy mám s ním problém a tady to nechápu už vůbec!

Mám se řídit podle fialové šipky, tedy od počátku, kde Fí začíná, tedy na x-ové ose, jet kolem dokola, počítat úhly a skončit až tam, kdy objedu celý kruk + ještě část, která je vyšrafovaná?

Nebo se řídit podle oranžové šipky, to je druhý způsob, co mě napadl, tedy od počátku kde začíná vyšrafovaná část až po tu čast, kde končí? To mi ale přijde hloupost, protože Fí se počítá od počátku, tedy od osy x, ne?

Jak bude prosím daná situace vypadat? :(

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-05/25959_13336327_1318475988166493_2085372580_n.jpg

Děkuji mnohkrát

bedrnik · 31. 05. 2016 23:06

Dobrý den,

Část M je na obrázku vyšrafována správně.

Integrovat je třeba podle oranžové šipky. Ta totiž vymezuje oblast M, přes kterou chceme integrovat. Podle fialové šipky bychom integrovali přes celý kruh o středu 0 a poloměru √2 plus ještě přes část M nad osou x.

To, že "Fí se počítá od počátku, tedy od osy x", je pravda v tom smyslu, že Fí = 0 odpovídá kladné straně osy x. Ale integrovat můžeme i počínaje jinou hodnotou než 0, klidně i zápornou. Po substituci se Fí vždy objeví jako argument funkcí sin nebo cos, které jsou definované i pro záporná Fí, takže tam není problém.

Takže můžeme zvolit $-\frac{\pi}{4} \leqslant \varphi \leqslant \frac{3\pi}{4}$ nebo $\frac{7\pi}{4} \leqslant \varphi \leqslant \frac{11\pi}{4}$ nebo $-\frac{\pi}{4} + 2k\pi \leqslant \varphi \leqslant \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$ pro libovolné celé číslo $k$ .

Všechny uvedené možnosti jsou ekvivalentní (což můžeme vidět díky tomu, že funkce sin a cos jsou 2pi-periodické).

DavidMath · 31. 05. 2016 23:20

Takže odkud to Fí vlastně mám počítat? Vůbec to nechápu. Učitel si asi z nás dělá legraci, protože u jednoho příkladu počítal třeba podle fialové šipky, že to jaksi složitě celé otáčel kolem dokola + ještě celá vyplněná část kde končí, a potom to dělal zase od záporných hodnot kde začíná vyplněná část až po její konec a tím končil.!

Vůbec nevím, proč 7pí / 4 ... však já přeci nezačínám na 7pí /4

bedrnik · 31. 05. 2016 23:59

↑ DavidMath:

Úhel $-\frac{\pi}{4}$ radiánů je stejná souřadnice jako úhel $\frac{7\pi}{4}$ radiánů: liší se to o $2\pi$ radiánů, což je $360^\circ$ .

To mínus u $-\frac{\pi}{4}$ značí, že počítáme po směru hodinových ručiček od osy x. Tzn. je to 45° po směru h.r. od osy x. Takže se ocitneme v úhlu, který odpovídá začátku oranžové šipky. Stejně tak jako v případě 7pi/4, tam se otočíme o 315° proti směru h.r. od osy x, takže se ocitneme opět na začátku oranžové šipky.

To znamená, že jako dolní mez integrálu můžeme zvolit -pi/4 nebo 7pi/4 nebo 15pi/4 nebo 23pi/4 atd.

Horní mez integrálu pak zvolíme jako "dolní mez + pi" protože oranžová šipka se otáčí o 180° = pi.

Meze integrálu vždy odpovídají oblasti, přes kterou integrujeme. Proto meze pro Fí odpovídají oranžové šipce.

Kdybychom integrovali od 0 do 2pi, tak bychom integrovali přes celý kruh.
Kdybychom integrovali od -pi do pi, tak bychom integrovali opět přes celý kruh (a vyšlo by nám to samé).
Kdybychom integrovali od 0 do 4pi, tak bychom integrovali přes celý kruh 2krát (a vyšlo by nám 2krát tolik).

Kdybychom integrovali od 0 do 1pi, tak bychom integrovali jen přes polovinu kruhu ležící nahoru od osy x.
Kdybychom integrovali od 0 do 2pi a potom od toho odečetli integrál od pi do 2pi, tak bychom opět dostali integrál přes polovinu kruhu ležící nahoru od osy x.

Atd. Dá se s tím hrát s využitím vztahu $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$ , možná tohle bylo předmětem vtipů vašeho vyučujícího.

DavidMath · 01. 06. 2016 12:54

Děkuji, už to mám vypočítané :-)

Vyšlo to π/2 * (1 - 1/e^4)

DavidMath · 05. 06. 2016 01:39

Mohu, prosím dotaz i u této situace?

Proč mi to vychází záporně? Myslím si, že výpočet je správně, to mínusko tam skočilo proto, že jak je dt/-2ϱ, přičemž se ϱ vykrátila a zbylo dt/-2. Tu jsem vytknul jako -1/2 před integrál, tedy Pí * -1/2 = - 1/2 Pí...

Jenže to mínusko nemá jak zmizet, protože dosazení mezí platí pro éčko a jeho mocniny...

Je to správně nebo je někde chyba? Jak zápornou hodnotu odstranit?

Děkuji Mnohokrát VŠEM !!! :)

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-06/83539_e-na-x%252Bynadruhou.jpg

Al1 · 05. 06. 2016 07:24

↑ DavidMath:

Zdravím,

tvůj výpočet je správný.

Výsledek lze upravit $-\frac{\pi }{2}\left(\frac{1}{\mathrm{e}^{2}}-1\right)=\frac{\pi }{2}\left(1-\frac{1}{\mathrm{e}^{2}}\right)$ . Každopádně hodnota je kladná.

DavidMath

Děkuji moc :)
Jinak je možné, že výsledek integrálu může vyjít záporně?

Matematické Fórum

#1 31. 05. 2016 22:19

Dvojný integrál - polární souřadnice

#2 31. 05. 2016 23:06

Re: Dvojný integrál - polární souřadnice

#3 31. 05. 2016 23:20

Re: Dvojný integrál - polární souřadnice

#4 31. 05. 2016 23:59

Re: Dvojný integrál - polární souřadnice

#5 01. 06. 2016 12:54

Re: Dvojný integrál - polární souřadnice

#6 04. 06. 2016 16:36 Příspěvek uživatele DavidMath byl skryt uživatelem DavidMath. Důvod: špatný dotaz a výsledek

#7 05. 06. 2016 01:39

Re: Dvojný integrál - polární souřadnice

#8 05. 06. 2016 07:24

Re: Dvojný integrál - polární souřadnice

#9 05. 06. 2016 13:03 — Editoval DavidMath (05. 06. 2016 13:34)

Re: Dvojný integrál - polární souřadnice

Zápatí