Matematické Fórum

liamlim

Ahoj, vymyslel jsem podle mého názoru celkem pěkný příklad s docela zajímavým řešením. Zkuste:

Buď dána posloupnost $a_{n+3} = a_{n+1} + (-1)^n\cdot a_n$ kde $a_0 = 3$ , $a_1 = 0$ , $a_2 = 2$ . Dokažte, že pro libovolné prvočíslo $p$ platí, že $p$ dělí $a_p$ .

pozn.: sám jsem zvědavý na všechna řešení. to mé je natolik trikové a překvapivé, že to sem napíši později. pro ukázku, využívá se v něm následujícího:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pavel · 01. 06. 2016 13:48

↑ liamlim:

Jen bych to zobecnil, ta dělitelnost $p|a_p$ , kde $p$ je prvočíslo, platí pro libovolnou posloupnost danou předpisem

$a_{n+3} = a_{n+1} + C\cdot a_n,\qquad a_0 = 3,\ a_1 = 0,\ a_2 = 2,$

kde $C$ je libovolné celé číslo. Důkaz vychází z řešení rekurentních rovnic prostřednictvím charakteristické rovnice, na jejíž koeficienty se použijí Vietovy vztahy.

liamlim · 01. 06. 2016 13:55

↑ Pavel:

A vážně se jedná o zobecnění? Pro $C=-1$ bych měl $a_{n+3} = a_{n+1} + (-1)\cdot a_n$ a ne

$a_{n+3} = a_{n+1} + (-1)^n\cdot a_n$

Pavel · 01. 06. 2016 15:37 — Editoval Pavel (01. 06. 2016 16:58)

↑ liamlim:

To máš pravdu. Nicméně platí, že posloupnost $a_n$ lze v jistém smyslu "nahradit" posloupností

$b_{n+3} = -b_{n+1}-b_n,\qquad b_0 = -3,\ b_1 = 0,\ b_2 = 2.$

Platí totiž $|a_n|=|b_n|$ pro libovolné $n$ . Takže při zkoumání dělitelnosti jejich členů není rozdíl, zda se zabýváme posloupností $a_n$ , nebo $b_n$ .

---

Platí ještě jedno zobecnění:

$p|a_p$ , kde $p$ je prvočíslo, platí také pro posloupnost danou předpisem

$a_{n+3} = B\cdot a_{n+1} + C\cdot a_n,\qquad a_0 = 3,\ a_1 = 0,\ a_2 = 2B,$

kde $B$ a $C$ jsou libovolná celá čísla.

Matematické Fórum

#1 01. 06. 2016 00:26 — Editoval liamlim (01. 06. 2016 00:38)

rekurence

#2 01. 06. 2016 13:48

Re: rekurence

#3 01. 06. 2016 13:55

Re: rekurence

#4 01. 06. 2016 15:37 — Editoval Pavel (01. 06. 2016 16:58)

Re: rekurence

Zápatí