Matematické Fórum

Statistik · 02. 06. 2016 17:49

Ahojte, poznate niekto nejaky dobry web na priklady na explicitne a parametricke vyjadrenie kruznice prosim?

jelena · 02. 06. 2016 23:18

Zdravím,

opět reaguji na PM - otázky je daleko lepší pokládat přímo na fóru, dostaneš daleko kvalitnější odpověď.

Implicitní tvar funkce kružnice je např. $x^2+y^2=r^2$ , pokud z tohoto zápisu zapíšeš $y=\pm \sqrt{r^2-x^2}$ , tak to bude pokus o explicitní vyjádření, ale to +/- neumožňuje považovat tento zápis za funkci, musíš odděleně zapsat explicitní vyjádření poloviny kružnice a další poloviny. Proto se řekne, že rovnici kružnici nejde zapsat v explicitním tvaru.

Dotaz byl:

co je to "explicitny tvar rovnice kruznice"

web a příklady nejspíš neznám nic speciálního. Zkus upřesnit účel hledání, děkuji.

Statistik

no ale ja mam v zosite taketo nieco
$y=r\sqrt{1-cos^2(arccos (x/r))}$
$y=\sqrt{(r^2-r^2 cos^2 (arccos) (x/r) }$
$y=\sqrt{r^2-x^2}$
$x^2+y^2=r^2$

Tie upravy chapem ako sa robia ale odkial sa berie ten prvy tvar teda $y=r\sqrt{1-cos^2(arccos (x/r))}$ ??

nejako by sa to malo dat odvodit z parametrickeho zapisu kruznice
$x= r cos t$
$y= r sin t$

a

$x= r cos( arccos x/r)$
$y= r sin( arccos x/r)$

neviete niekto ako na to?

jelena · 03. 06. 2016 09:23

nejako by sa to malo dat odvodit z parametrickeho zapisu kruznice
$x= r cos t$
$y= r sin t$

ano, z rovnice $x= r \cos t$ vyjádři, prosím, $t=...$ . Které další úpravě ještě nerozumíš?

Pozor ale - z předpisu $x^2+y^2=r^2$ není pouze $y=\sqrt{r^2-x^2}$ , ale také $y=-\sqrt{r^2-x^2}$ .

Statistik

$x= r cos t$
$x/r = cos t$
$arccos x/r = t$
takto?

no a nerozumiem tomu vyrazu odkial sme ho vzali a odkial vieme ze je to rovnica kruznice? Mam namysli toto: $y=r\sqrt{1-cos^2(arccos (x/r))}$

jelena · 03. 06. 2016 09:58

↑ Statistik:

ano, pokud uvažujeme jen hodnoty úhlu od $0$ do $\pi$ (jak máte zavedeno $t$ ?)

no a nerozumiem tomu vyrazu odkial sme ho vzali a odkial vieme ze je to rovnica kruznice?

bohužel ani já neznám strukturu vaši výuky a v jakém sledu jste co zavedli.

$y=r\sqrt{1-cos^2(arccos (x/r))}$

toto je např. ekvivalentní se zápisem $y=r\cdot \sin t$ (opět ale jen pro půlkružnici). Ale opravdu posloupnost zavedení pojmů u vás neznám. Máte vaše materiály online nebo přímo učební text, který je doporučován pro studium, základní učebnici nebo jinou knihu uvedenou jako "doporučená literatura" na stránce předmětu? Sešitové zápisy lze považovat za nějakou kostru nebo schéma výuky, jinak sama bych se zápisy v sešitu neřídila - ve smyslu kompletního studia látky + riziko chybných a nekompletních zápisů.

Statistik

nemam ziadne poznamky .. a preco od $0$ po $\pi$ ?

Rumburak · 03. 06. 2016 10:37

↑ Statistik:

Ahoj. (Zdravím i kolegyni Jelenu. )

a preco od $0$ po $\pi$ ?

Protože oborem hodnot funkce arccos (v reálném oboru) je pouze interval $\langle 0 , \pi \rangle$ .

Statistik

aha tak dik takze cely ten vztah $y=r\sqrt{1-cos^2(arccos (x/r))}$ bude len na $0, \pi$

Rumburak · 03. 06. 2016 14:38

↑ Statistik:

Přesněji:

do inetrvalu $\langle 0 , \pi \rangle$ bude patřit hodnota výrazu $\arccos (x/r)$ pro libovolný bod

(1) $X = [x, y]$ kružnice o rovnici $x^2+y^2=r^2$ ,

neboť zde $x/r \in \langle -1, 1 \rangle$ , kterážto množina je definičním oborem funkce $\arccos$ .

Pro libovolné $t \in \langle -1, 1 \rangle$ ovšem triviálně platí $\arccos (\cos t) = t$ , takže pro náš bod (1)
jsou rovnice

(2) $y=r\sqrt{1-(x/r)^2}$ ,

(3) $y=r\sqrt{1-cos^2(arccos (x/r))}$

spolu ekvivalentní a není důvod přecházet od formálně jednodušší rovnice (2) k formálně složitější rovnici (3).

Pokud snad explicitní vyjádření křivky znamená její popis rovnicí tvaru $y = f(x)$ resp. $x = g(y)$ , kde $f, g$
jsou funkce, pak celá kružnice takovéto vyjádření nemá. Ať již vememe rovnici (2) nebo (3), budeme mít
"explicitní" vyjádření pouze "horního" půloblouku uvažované kružnice. Rovnici "dolního" půloblouku dostaneme
tak, že pravou stranu rovnice (2) resp. (3) vynásobíme činitelem $-1$ .