Matematické Fórum

Reus · 03. 06. 2016 21:29

Dobrý den, snažím se řešit příklady na VŠE a nemohu se již delší dobou poprat s příklady tohoto typu:

$\sqrt{\frac{\log_{7}(9-3x)}{-7-x^2}}$

Snažil jsem se to jaksi spočítat a po několikahodinovém mučení jsem se nedostal dále, než na

$-7-x^2 =/= 0$
$x^2 =/= -7$
$x =/= +/- \sqrt{7}$

dále:

$\log_{7}(9-3x)>0$
$\frac{8}{3} > x$

a:

$9-3x > 0$
$x < 3$

Prosil bych o co nejvíc polopatickou radu jak na to, případně kde dělám chybu a co řeším špatně.
Předem moc děkuji!

Akojeto

↑ Reus:

No - pod odmocninou má byť nezáporné číslo.

Menovateľ je vždy záporný.

Teda čitateľ musí byť záporný alebo môže byť aj 0

Logaritmovať môžeš len kladného čísla.

Reus · 03. 06. 2016 21:48 — Editoval Reus (03. 06. 2016 21:54)

↑ Akojeto:

Tak tomu teď vůbec nerozumím.

Jmenovatel je tedy vždy záporný, chápu, že pokud mi v čitateli vyjde záporné, tak ten interval bude platit.

Nicméně, nevím, co si mám dosadit za to X.
Prostě mi tam nesedí to $x =$ +/- $\sqrt{7}$

Když to zkouším zapsat na osu v intervalech, tak mi vychází hrozný bordel.

Mám před sebou 5 intervalu a to tyto:
$- nekonecno ; - \sqrt{7}$
$- \sqrt{7} ; \sqrt{7}$
$\sqrt{7} ; \frac{8}{3}$
$\frac{8}{3} ; 3$
$3 ; nekonecno$

Jako kladné intervaly mi vyšli poslední dva, což není správná možnost.

A jelikož to mám před sebou už dobrých 4 hodiny ve všech možných mně známých postupech, nedokážu si představit co s tím mám asi dělat

Akojeto

↑ Reus:

Ešte. Raz: menovateľ je záporný pre všetky hodnoty x.

Je jedno, aké x dosadíš, menovateľ kladný ani nula nebude nikdy.

Žiadnu odmocninu zo 7 robiť netreba.

Menovateľ je totiž

$-(x^2+7)$ . V zátvorke je druhá mocnina x (vždy kladná) a ešte zväčšená o 7. Pred ňou je mínus.
----------------------------------------------------------------------------------------------

Ak má byť pod odmocninou nezáporné číslo, musí byť ten logaritmus záporný alebo 0.

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Logaritmovať sa dajú len kladné čísla.

Reus · 03. 06. 2016 22:04

↑ Akojeto:

No, a teď mi vyšlo, že v intervalu
$3 ; nekonecno$

vychází něco takového:

$\frac{\log_{7}-6}{-7-25}$

z toho intervalu jsem si vybral 5.

Zkusím vyfotit papír na kterým se to pokouším řešit pro lepší přehled postupu

Reus · 03. 06. 2016 22:07

Nějak tak to teď u mě vypadá.

Akojeto

↑ Reus:

Absolútne nechápem, čo robíš.

Nevidím intervaly... Čo to tam dosádzaš?

Máš vyriešiť nerovnicu

Logaritmus je menší alebo rovný 0.

Teda podľa definície

$9-3x\le 1$

Odtiaľ. $x\ge\frac 83$ , nie?

Ďalej z podmienky pre argument logaritmu

$x<3$

Podľa mňa riešením sú všetky čísla medzi 8/3 vrátane a 3.

Reus · 03. 06. 2016 23:04

Ty intervaly jsou na té ose, to jsem trochu předběhl a dosazoval čísla z intervalu rovnou do toho původního příkladu.

Jinak kompletně celý postup (teda až na to poslední dosazování) mám zde:

$\frac{8}{3} < x$ a $x < 3$

mi vyšlo (i když mám pořád trochu bordel ve znaménkách, ale v těch si už pak pořádek udělám)
Nicméně po výpočtu tohoto, nevím jak dál.
Zapsal jsem ty intervaly na osu, a zkusil do původního vzorce dosazovat čísla z nich, nicméně výsledek který dostávám vychází blbě.

Akojeto

↑ Reus:

Asi som blbá - ale ja absolútne nechápem, čo to vlastne vyrábaš.

Definičný obor sú všetky čísla z intervalu $<\frac 83; 3)$ . Pre tieto čísla je argument logaritmu kladný, čitateľ zlomku záporný (prípadne aj 0) a teda celý zlomok pod odmocninou nezáporný. A to je všetko.
Žiadne dosádzanie k riešeniu priamo nepotrebuješ.

Čo to tam furt dosádzaš? Proste nechápem.

Reus · 03. 06. 2016 23:09

↑ Akojeto:

výsledek už mám i tak, ale děkuji.

Zkusím to zformulovat jinak.

Jakmile dostanu to $\frac{8}{3} < x$ a $x < 3$

Jak mám postupovat dále?

Akojeto

↑ Reus:

Nijako.

To je výsledok. Takto vyzerá definičný obor o ktorý ti ide.

Snáď len napísať to ako interval.

Reus · 03. 06. 2016 23:22 — Editoval Reus (03. 06. 2016 23:23)

↑ Akojeto:

Aha, no.
Tak jsem si nebyl schopný určit správně podmínky na začátku, a pak jsem z nějakého důvodu dosazoval čísla z intervalu do počátečního vzorce...

V tom případě jiný dotaz, jak přesně v podobných příkladech zjistím, zda interval je uzavřený, nebo otevřený?
Děkuji!

Akojeto · 03. 06. 2016 23:41

↑ Reus:

No - ak krajný bod intervalu je taký že po jeho dosadení vyjde číslo a nie error, interval je uzavretý.

Ak nevyjde číslo, interval je otvorený.

Napríklad 8/3 do definičného oboru patrí (interval je uzavretý), lebo ak tam tých 8/3 dosadíš dostaneš v čitateli číslo 0 a odmocnina z nuly existuje, je to číslo 0.

Ale číslo 3 do definičného oboru nepatrí (interval je otvorený), lebo po dosadení za x dostaneš logaritmus nuly a ten neexistuje.

Rumburak

↑ Reus:

Ahoj.

Podle mého názoru se vyplatí postupovat co nejvíce metodicky. Shrnul bych to asi takto:

Korektnost funkčního výrazu $\sqrt{\frac{\log_{7}(9-3x)}{-7-x^2}}$ , kde $x$ je reálná proměnná, by byla PORUŠENA
v následujících případech:

1) když by ve jmenovateli zlomku byla 0,
2) když by v argumentu logaritmické funkce bylo jiné číslo než kladné,
3) když by v argumentu druhé odmocniny bylo jiné číslo než nezáporné.

(S korektností samotné lineární funkce $x \mapsto 9-3x$ a samotné kvadratické funkce $x \mapsto -7-x^2$
problémy nejsou.)

Nesmí proto nastat žádná ze situací 1, 2, 3, což zapíšeme soustavou nerovnic

(1) $-7-x^2 \ne 0$ ,

(2) $9-3x > 0$ ,

(3) ${\frac{\log_{7}(9-3x)}{-7-x^2}} \ge 0$ ,

kterou vyřešíme již víceméně mechanicky:

Ad (1) : Tato nerovnost je splěna vždy, neboť pro každé reálné $x$ je zřejmě

(1') $-7-x^2 < 0$ ,

čehož využijeme i v následdujícím kroku.

Ad (3): Vynásobíme ji jmenovatelem $-7-x^2$ , o němž víme, že je záporný, čímž dostaneme
ekvivalentní nerovnici

(3') $\log_{7}(9-3x) \le 0$ .

Základ logaritmu zde je větší než 1, proto (3') je za předpokladu (2) ekvivalentní s

(3'') $9-3x \le 1$ ,

což znamená složenou nerovnost

$0 < 9-3x \le 1$ ,
čili

$0 > 3x - 9 \ge -1$ ,
$9 > 3x \ge 8$ ,
$3 > x \ge 8/3$ ,

$x \in \langle 8/3, 3)$ .

ZÁVĚR: Definičním oborem funkce $x \mapsto \sqrt{\frac{\log_{7}(9-3x)}{-7-x^2}}$ je $\langle 8/3, 3)$ .

PS.

Vím, že úloha zde již byla úspěšně vyřešena . Šlo mi hlavně o metodiku postupu a její průhlednost.