Matematické Fórum

evik · 25. 04. 2009 10:50

Ahojte, prosím o radu.
Mám příklad a nejde mi dojít k správnému výsledku.

$y=y'x+\frac{1}{2}\cdot (y')^{-2}$

řeším dosazením parametru y' = p a následnou derivací.
Vyjde mi - bude to třeba asi ověřit, jestli to mám dobře -

$0=p'(x-\frac{1}{p})$

z toho řádné řešení :
$y = Cx + \frac{1}{2}C^{-2}$

a singulární řešení jako 2 rovnice
$x=\frac{1}{p} \nl y= 1 + \frac{1}{2p^2 }$
Řádné řešení mám podle výsledků v pořádku, ale singulární řešení má vyjít $y=\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}$
Neumím se zbavit parametru tak, aby mi to vyšlo jak má. Děkuji za pomoc.

Rumburak · 27. 04. 2009 16:13

Jestliže do rovnice $y=y'x\,+\,\frac{1}{2}\cdot (y')^{-2}$ zavedu substituci y' = p , dostanu $\int p \,\, + \,C =px \,+ \, \frac{1}{2}\cdot p^{-2}$ ,
po zderivování $p =p'x \,+\, p \,+\, \frac{1}{2}\cdot (-2)p^{-3}\cdot p'$ , čili $0 =p'x\, - \,p^{-3}\cdot p'= p'(x\, - \,p^{-3})$ , což dává

1. p'=0, tedy p(x) = k <> 0 , y(x) = k*x + q ,

2. $x\, - \,p^{-3} = 0$ , tedy $p(x)\, = \,x^{-\frac {1}{3}}$ , $y(x)\, = \,\frac{3}{2}\,x^{\frac {2}{3}} + D$ .

Matematické Fórum

#1 25. 04. 2009 10:50

ODR nerozřešená vzhedem k derivaci

#2 27. 04. 2009 16:13

Re: ODR nerozřešená vzhedem k derivaci

Zápatí