Matematické Fórum

DavidMath · 04. 06. 2016 20:05

Dobrý den,
Prosím Vás, nikde na internetu nemohu najít rozumně vysvětlení, proč se používá Jakobián. Otázky v testech byly následující:

a) Proč při sférických souřadnicích používáme Jakobián?

b) Proč při válcových souřadnicích používáme jakobián?

Děkuji mnohokrát

jelena · 05. 06. 2016 12:49

Zdravím,

přesně nevím, zda na otázku "proč?" můžeme odpovídat, že "protože bez použití jakobiánu by nešlo provést transformaci správně (dle definice transformace)" a odvodit k tomu tvary jednotlivých jakobiánů. Viz váš materiál. Pokud k tomu nebyla možnost volby odpovědí, tak bych odpovídala takovým způsobem.

DavidMath

Ano, ale ho spíš zajímalo, proč Jakobián vůbec používáme. Jakože k čemu slouží a proč jej dáváme vždy za integrál (např. Integrál z 3*cos φ * daný Jakobián (ϱ)...)

To, že napíšu, že by nešla provézt transformace, by ho neuspokojilo, ho zajímá, co ten Jakobián asi znamená, proč se tam používá atd...

A to ve válcových i sférických souřadnicích, pokud je jakobián a jeho použití u každých souřadnic rozdílné?

jelena · 05. 06. 2016 15:11

↑ DavidMath:

buď napíšeš pořádně celou definici a odvození použití (pro jednoznačnost zobrazení) přesně tak, jak máte v materiálu, to nemůže napadnout. Nebo můžeš se rozpovídat o geometrickém smyslu jakobiánu, který můžeme brát jako poměr mezi objemem "pravidelného" tvaru a "nepravidelného" (pokud jste tento geometrický smysl probírali).

Na otázku "proč" se vždy obtížně odpovídá. Počkej ještě na kolegy + opět možnost konzultace.

DavidMath · 05. 06. 2016 15:32

Právěže jsme si žádné definice ani nic nepsali... TO je to. Chce vyloženě jen napsat, proč se používá ve válcových a proč ve sférických souřadnicích jakobián, jaký má smysl?

Jak byste stručně odpověděla?
Kámoška v testu odpověděla takto:
,,Protože když máme trojný integrál např. dx dy dz tak místo dx dy dz dosadíme jakobián." A měla to špatně! :D

vlado_bb · 05. 06. 2016 15:37

↑ DavidMath:Tu je to pomerne dobre vysvetlene: http://www-astro.physics.ox.ac.uk/~sr/l … llynew.pdf

DavidMath · 05. 06. 2016 15:39

↑ vlado_bb:
Nezlobte se, angličtinu jsem měl, ale pochopit to v češtině je oříšek, natož v anglickém jazyce.

Mohu poprosit tedy o vysvětlení názorné a slovné v českém jazyce? děkuji Mnohokrát

Eratosthenes · 05. 06. 2016 15:49

ahoj ↑ DavidMath:

transformace v integrálu "bez Jakobiánu" mění míru množiny, přes kterou integruješ (obsah ve 2D, ohjem ve 3D). Představ si

$\int\int\int_\Omega dxdydz$

kde $\Omega$ je válec. Chceš tedy počítat objem válce. Použiješ transformaci do válcových souřadnic a z válce $\Omega$ vyrobíš kvádr $\Omega^*$ . Ale nemůžeš napsat

$\int\int\int_\Omega dxdydz= \int\int\int_{\Omega^*} d\varphi d\rho dz$

protože ten kvádr má jiný objem než ten původní válec. Právě Jakobiáln zajistí, že tvůj kvádr bude mít stejný objem jako původní válec. Tedy

$\int\int\int_\Omega dxdydz= \int\int\int_{\Omega^*} J(\varphi ;\rho; z) d\varphi d\rho dz$

Podobně u sférických souřadnic třeba koule -> krychle.

Takže

a) Proč při sférických souřadnicích používáme Jakobián?

Abychom při transformaci koule nebo její části do krychle nebo její části zachovali objem oblasti.

b) Proč při válcových souřadnicích používáme jakobián?

Abychom při transformaci válce nebo jeho části do kvádru nebo jeho části zachovali objem oblasti.

A třeba

c) Proč při polárních souřadnicích používáme jakobián?

Abychom při transformaci kruhu nebo jeho části do obdélníku nebo jeho části zachovali obsah oblasti.