Matematické Fórum

misak · 25. 04. 2009 12:05

Dobrý den,
mám problém s řešením této rovnice (následuje i můj postup řešení):
$x' + 2x + 5\int_{0}^{t}x(u)du = 0; x(0+) = -1$
$x(t) \sim X(p)$
$pX(p) + 1 + 2X(p) + 5\frac{X(p)}{p} = 0$
$p^2X(p) + p + 2pX(p) + 5X(p) = 0$
$X(p)(p^2+p2+5) = -p$
$X(p) = -\frac{p}{p^2+2p+5}$
$X(p) = -\frac{p+1}{(p+1)^2+1} + \frac{1}{(p+1)^2+1}$
Při zpětném převodu uvažuji, že:
$-\frac{p+1}{(p+1)^2+1} = - e^{-t} cos(t)$
a
$\frac{1}{(p+1)^2+1} = e^{-t} sin(t)$
Takže výsledek rovnice by měl být
$x(t) = e^{-t}(sin(t) - cos(t))$

Výsledek má ale podle skript být
$x(t) = e^{-t}(\frac{1}{2}sin(2t) - cos(2t))$

Nevíte prosím někdo, kde dělám chybu?

jelena · 26. 04. 2009 17:32

↑ misak:

Zdravím,

$X(p) = -\frac{p}{p^2+2p+5}$ toto OK,

chyba (to ani ne, zřejmě jen nepozornost) je tady:

$X(p) = -\frac{p+1}{(p+1)^2+1} + \frac{1}{(p+1)^2+1}$

má být: $X(p) = -\frac{p+1}{(p+1)^2+2^2} + \frac{1}{(p+1)^2+2^2}$

zpětný převod už bude v pořádku (omega je 2).

OK?

misak · 27. 04. 2009 17:02

Ježíš. Hlavně, že jsem to po sobě několikrát kontroloval :-D
Děkuju moc za upozornění. Teď už to skutečně vychází.

Matematické Fórum

#1 25. 04. 2009 12:05

Diferenciální rovnice Laplaceovou transformací

#2 26. 04. 2009 17:32

Re: Diferenciální rovnice Laplaceovou transformací

#3 27. 04. 2009 17:02

Re: Diferenciální rovnice Laplaceovou transformací

Zápatí