Matematické Fórum

Prosím, přešti si VELMI PEČLIVĚ všechna zadání.
Třeba hned u prvního -- f(n)=1? Pak je f všude 1, což je navíc spor se třetí podmínou.
Pokud mělo být
f(1) = 1
f(2n) = f(n)
f(2n+1) = f(n) + f(n+1)
vypíšeme si prvních pár členů
1,1,2,1,3,2,3,1,4,3,5,2,
a dojdeme k závěru, že 2|f(k) právě když 3|k. To se pokusíme dokázat. Pro k<10 jsme to ukázali předchozím výčtem. Nyní předpokládejme, že ekvivalence platí pro k<t, a ukažme ji pro k=t. Rozlišíme 4 případy:
3|t a t=2n: pak 3|n, 2|f(n), 2|f(t)
t=2n a neplatí 3|t: pak neplatí 3|(n), proto neplatí 2|f(n), proto neplatí2|f(t)
3|t a t=2n+1: pak 3|n-1, f(n) je liché i f(n+1) je liché, f(t) je sudé
t=2n+1 a neplatí 3|t: pak buď 3|n+1, nebo 3|n, proto je právě jedno z čísel f(n), f(n+1) liché, f(t) je proto liché.
Ve všech čtyřech případech je ekvivalence splněna.

Má narážka na pečlivost se týkala i druhého příkladu, myslím, že jeho zadání má být takto:

Najdete vechny polynomi F(x), pro ktere F(x^2) = (F(x))^2. Jednotlivé kroky výpočyu okomentuje.
--------------------------------------------------------------------
Polynom F(x)=0 vyhoví, dále počítejme, že je polynm nenulový.
Nechť F(x)=ax^n+G(x), kde  a není 0 a G(x) je buď 0 nebo polynom stupně m, m<n. Pak dosazením

ax^(2n)+G(x^2) = a^2x^(2n)+2x^nG(x)+(G(x))^2
Pokud je G(X)=0, máme odtud a=a^2. Pokud je G(x) nenulový polynom, pak G(x^2) je stupně 2m<2n, 2x^nG(x) stupně m+n<2n (G(x))^2 stupně 2m<2n, žádný z nich neobsahu člen stupně 2n.
Proto porovnáním koeficientů u x^(2n) dostáváme a=a^2, protože a není 0, vyhoví pouze a=1. Na obou stranách rovnice
odečteme x^(2n):
G(x^2) = 2x^nG(x)+(G(x))^2
Pokud by G(x) nebylo 0, byl by nalevo máme polynom stupně 2m, napravo stupně m+n>2m, což nelze.
Proto G(x)=0, F(x)=x^n.
--------------------------------------------------------------------
3.
Najdete F(x) tak, ze F(x-1) + 2F(x+1) = 3x^2 + 7x
Jednotlivé kroky výpočyu okomentujte.
--------------------------------------------------------------------
Nulový polynom F tentokrát nevyhoví. Nechť F(x)=ax^n+G(x), kde a není 0 a G(x) je 0 nebo polynom stupně m, m<n.
Dosazením a(x-1)^n+2a(x+1)^n+G(x-1)+2G(x+1)=3x^2+7x.
Z binomické věty víme, že vedoucí člen na levé straně bude 3ax^n, na pravé straně je vedoucí člen 3x^2, proto n=2 a a=1.
Polynom F hledáme ve tvaru x^2+bx+c, dosadíme:
x^2-2x+1+2x^2+4x+2+bx-b+2cx+2c=3x^2+7x
Porovnáním koeficientů u x
-2+4+b+c=7
porovnáním koeficientů u 1
1+2-b+2c=0
c=2/3
b=13/3
(za případné numerické chyby se omlouvám)

-------------------------------------------------------------------
4.
Pro ktera n z N je polynom
x + x^2 + x^4 + ... + x^{2n}
delitelny polynomem
1 + x + x^2 + ... + x^{n-1}
Jednotlivé kroky výpočyu okomentujte.
-------------------------------------------------------------------
užitím vzorců pro součet geometrické řady
x + x^2 + x^4 + ... + x^{2n}=x(x^(2n)-1)/(x-1)=x(x^n+1)(x^n-1)/(x-1)
1 + x + x^2 + ... + x^{n-1}=(x^n-1)/(x-1)
První polynom je pro všechna n x(x^n+1)-násobkem druhého, je proto pro všechna n druhým dělitelný.