Matematické Fórum

Martininos · 27. 04. 2009 13:37

Prosím o pomoc zdatnější počtáře, při řešení 2 příkladů:
Asi není v mých silách dojít ke správnému výsledku :(

1)Délka oblouku rovinné křivky:

$y=ln(1-x^2)$
$x\in<0;0.5>$

Výsledek by měl být: ln3 - 0,5

2) Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací křivky kolem osy x:

$4x^2+9y^2=36$
$y^2=2x$

Výsledek by měl být: 19/4Pí

Děkují moc za jakýkoliv pokus či nakopnutí, které mě dovede k cíli.

Martininos · 27. 04. 2009 17:37

Opravdu nikoho nic nenapada ? :((

ttopi · 27. 04. 2009 17:57

S výsledkem 1) souhlasím, také mi to tak vyšlo.

Důležitý je vzorec pro délku křivky dané funkcí x, ten je $L=\int_{0}^{\frac12}\sqrt{1+(y\prime)^2}dx$

Derivace funkce $\ln(1-x^2)$ je $y\prime=\frac{-2x}{1-x^2}$ .

Dosadím do vzorce a mám:
$\int_{0}^{\frac12}\sqrt{1+\Big(\frac{-2x}{1-x^2}\Big)^2}dx=\int_{0}^{\frac12}\sqrt{1+\frac{4x^2}{(1-x^2)^2}}dx=\int_{0}^{\frac12}\sqrt{\frac{(1-x^2)^2+4x^2}{(1-x^2)^2}}dx=\nl=\int_{0}^{\frac12}\sqrt{\frac{1-2x^2+x^4+4x^2}{(1-x^2)^2}}dx=\int_{0}^{\frac12}\sqrt{\frac{(x^2+1)^2}{(1-x^2)^2}}dx=\int_{0}^{\frac12}\frac{x^2+1}{1-x^2}dx$

Tento integrál už snad vyřešíš. Nejdřív sem to podělil, pak tam byly nějaké parciální zlomky a nakonec mi skutečně vyšlo, že $L=\ln3-\frac12$

Martininos · 27. 04. 2009 18:12

Diky jasne ze vyresim :) A hecne se nedko do toho druheho ?:)

ttopi · 27. 04. 2009 18:14

Já bych se hecl, ale nerozumím zadání. Chceš rotovat křivku, ale napíšeš tam rovnice 2 křivek - co s nima? Mají se najít jejich průsečíky, podle toho určit meze a pak od integrálu funkce s větším objemem odečíst integrál te funnkce s menším objemem při rotaci?

Martininos · 27. 04. 2009 19:24

Jasne, omlouvam se ma to byt rotace plochy P, ktera je predpokladam ohranicena temi dvemi krivkami :) kolem osy, ktere osy uz v zadani nemam, snad to nejak vyplyne... :)

Martininos · 27. 04. 2009 20:23

Dospel jsem k

$\int_{0}^{1/2}\frac{2}{1-x^2}-1dx=[2ln(1-x^2)-x]$

ale po dosazeni mezi mi nevychazi ln3 -1/2

ttopi · 27. 04. 2009 20:26

Totiž ten zlomek není po integraci logaritmus, to je hrubá chyba. Jen si to zkus zpětně zderivovat, objeví se ti nahoře -2x, což tady nikde nemáš. musíš udělat rozklad na paricální zlomky, asi takto:
$\frac{1}{1-x^2}=\frac{A}{1+1}+\frac{B}{1-x}$

Víš doufám, co jsou parciální zlomky?

Martininos

Ano, stydim se samozrejme mi to jiz nyni vyslo :] Jeste ten druhy a asi Vam poslu darkovy kos ;]]

ttopi · 27. 04. 2009 21:07

Mám i ten objem.

Když si necháš někde vykreslit grafy těchto funkcí, zjistíš, že mají společný průnik v $x=\frac32$ kde $y=\sqrt3$ .

Od tohoto bodu doleva je funkce $y=\sqrt{2x}$ a doprava je funkce $y=\sqrt{\frac{4(9-x^2)}{9}}$ - obě funkce jsou samozřejmě zdola omezené osou x.

Proto musíme pro celkový objem počítat objem tělesa vzniklého rotací křivky $y=\sqrt{2x}$ v mezích od 0 do 3/2 (protože s osou x má průnik v x=0) a objem tělesa vzniklého rotací křivky $y=\sqrt{\frac{4(9-x^2)}{9}}$ v mezích od 3/2 do 3 (protože průnik s osou x má v x=3).

Výsledný objem je tedy podle vzorce $V=\pi\int (f(x))^2dx$
$\pi\int_{0}^{\frac32}2xdx+\pi\int_{\frac32}^{3}\frac{4(9-x^2)}{9}dx$

Když si to zintegruješ a dosadíš meze a počteš co se dá, vyjde ti opravdu $V=\frac{19}{4}\pi$

Jinak tady jsou ty grafy:
$http://wood.mendelu.cz/math/maw/gnuplot/gnuplot.php?funkce=sqrt%28%28%284%2A%289-%28x%5E2%29%29%29%2F9%29%29&xmin=-4&xmax=4&ymin=0&ymax=3&naturallog=1&logbase=exp(1)$

a