Matematické Fórum

Sherlock

Zdravím, poradí někdo?

Mám definovanou rotaci v R^3 podle přímky

$q:x_{2}-x_{3}=0,x_{1}=0$

Tak, že $[2,0,0]$ se zobrazí na $[0,\sqrt{2},-\sqrt{2}]$

V postupu mám chybu a tak prosím o kontrolu:

Určil jsem si přímku a ort. doplněk:
$q=[(0,1,1)]$
$q^{\perp }=[(1,0,0),(0,1,-1)]$

Abych zjistil úhel otáčení, spočítal jsem si cos úhlu toho vektoru a jeho obrazu:
$\frac{\langle(2,0,0),(0,\sqrt{2},-\sqrt{2})\rangle}{||\langle(2,0,0)||\cdot ||(0,\sqrt{2},-\sqrt{2})||}=0$
tedy jedná se o otáčení o $\frac{\pi }{2}$

Pak jsem si zvolil tuto ortonorm. bázi: $(\frac{\sqrt{2}}{2}(0,1,1),(1,0,0),\frac{\sqrt{2}}{2}(0,1,-1))$

V této bázi bude matice zobrazení:
1 0 0
( 0 0 -1 )
0 1 0

Je to zatím správně? Děkuji :)

Eratosthenes

ahoj ↑ Sherlock:;

nevím, jak se tyto věci učíte vy, ale já bych to udělal takto:

Máš najít matici rotace kolem přímky q, která převede červený bod do růžového:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-06/66476_otoceni.png

Zobrazení bych složil z

1) otočení o pi/4 kolem osy x - to převede přímku q v osu z a růžový bod v zelený [0;2;0]. Červený bod leží na ose rotace, je tedy samodružný ("zůstane na místě").

Matice této rotace je

$R_x = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos {\frac {\pi} 4} & \sin {\frac {\pi} 4} \\ 0 & -\sin {\frac {\pi} 4} & \cos {\frac {\pi} 4} \end{pmatrix}$

2. Nyní máš rotovat kolem osy z a převést červený bod do zeleného, tj. rotovat o pi/2. Matice je

$R_z = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. Konečně osu z rotace ztotožnit s původní přímkou q, tj. použít rotaci inverzní k R_x.

Matici celé transformace dostaneš vynásobením těchto tří matic, a to v obráceném pořadí, než v jakém provádíš transfrmace, t.j:

$M=R_x^{-1}\cdot R_z\cdot R_x$

Sherlock

Ahoj, děláme to tak že si najdeme ortonormální bázi ve které pro matici lin. op. platí $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos {\alpha } & \sin {\alpha } \\ 0 & -\sin {\alpha } & \cos {\alpha } \end{pmatrix}$ a matici ve standartní bázi zjistíme vynásobením maticemi přechodu.

Matematické Fórum

#1 10. 06. 2016 08:13 — Editoval Sherlock (10. 06. 2016 08:14)

Lineární algebra, rotace

#2 10. 06. 2016 16:03 — Editoval Eratosthenes (10. 06. 2016 16:03)

Re: Lineární algebra, rotace

#3 11. 06. 2016 11:41 — Editoval Sherlock (11. 06. 2016 11:41)

Re: Lineární algebra, rotace

Zápatí