Matematické Fórum

lddangsta · 10. 06. 2016 20:25

Dobrý den, potřeboval bych pomoc s jedním příkladem:

Řešte v C:
Pro jaká n platí rovnice:

$(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2})^{n} = \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}, n\in N$

Komplexní čísla jsem upravil do goniometrického tvaru a pak pomocí Moivreovy věty umocnil:

$cos(330^\circ \cdot n) + i \cdot sin(330^\circ \cdot n) = cos(330^\circ) + sin(330^\circ)$

Ale nevím, jak dál.

gadgetka

Ahoj, vpravo ti chybí "i". Zřejmě se musí zjistit, kolika násobek základního úhlu dá stejnou hodnotu, která je na pravé straně rovnice. Stopro bude jedním kořenem n=1. ;)

Edit:
Zapsala bych si komplexní číslo v goniometrickém tvaru jako
$\cos (-30°)+i\sin(-30°)$

A teď bych přičítala periodu. Dostaneš se na tvar, který tys uvedl. Další přičtení periody dá úhel 690°. Podělíme třiceti a jsme na $n=13$ ... ale zda je to správné řešení, to netuším... ;) Ber to spíš jako mé soukromé uvažování o řešení, s kterým si nevím rady... :D

Al1 · 11. 06. 2016 00:16 — Editoval Al1 (11. 06. 2016 00:17)

↑ lddangsta:

Zdravím,

upravím tvůj výpočet s užitím obloukové míry

$cos\left(\frac{11}{6}\pi \cdot n\right) + i \cdot sin\left(\frac{11}{6}\pi \cdot n\right) = cos\left(\frac{11}{6}\pi +2k\pi \right) + isin\left(\frac{11}{6}\pi+2k\pi \right )$

Pak musí platit pro $n\in N, k\in Z$
$\frac{11}{6}\pi \cdot n=\frac{11}{6}\pi +2k\pi\nl 11n=11+12k\nl n=1+\frac{12k}{11}$

Tedy číslo $\frac{12k}{11}$ musí být dělitelné jedenácti, aby n bylo přirozené.
Volba k=0 vede k n=1, volba k=11, vede k n=13, volba k=22 vede k n=25 atd.

Všechna n tvoří aritmetickou posloupnost s prvním členem 1 a diferencí 12

Matematické Fórum

#1 10. 06. 2016 20:25

Komplexní čísla - rovnice, Moivreova věta

#2 10. 06. 2016 21:30 — Editoval gadgetka (10. 06. 2016 22:01)

Re: Komplexní čísla - rovnice, Moivreova věta

#3 11. 06. 2016 00:16 — Editoval Al1 (11. 06. 2016 00:17)

Re: Komplexní čísla - rovnice, Moivreova věta

Zápatí