Matematické Fórum

loj · 11. 06. 2016 16:40

Zdravím, počítám si a najdu dva způsoby jak dojít k řešení... s jedním zásadním rozdílem, opačným znaménkem nerovnosti. Kde prosím dělám chybu?

Konkrétně jde o tento příklad: $\left(\frac{1}{2}\right)^{x+2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{x+3}\leq 3$

MOJE OTÁZKA: Po pár řádcích úprav se dostávám k $(\frac{1}{2})^{x+2}\le 2$
A tady začíná docela zásadní problém.
PRVNÍ způsob: $(\frac{1}{2})^{x+2}\le (\frac{1}{2})^{-1}$ čili: $x\le -3$
DRUHÝ způsob: $2^{-x-2}\le 2$ čili: $x\ge -3$ !!!

Mám z toho úplný hlavolam, prosím o pomoc...

Al1 · 11. 06. 2016 16:46 — Editoval Al1 (11. 06. 2016 16:48)

↑ loj:

Zdravím,

výsledky se liší, protože neuvažuješ správně.
Fce $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ je klesající, tedy s rostoucím exponentem klesá hodnota. Při řešení nerovnice, kde je základ kladný a menší než 1, je pak nutné obrátit znaménko nerovnosti
$(\frac{1}{2})^{x+2}\le (\frac{1}{2})^{-1}\nl x+2\ge -1$

Fce $y=2^{x}$ je rostoucí, s rostoucím exponentem roste hodnota, tudíž znaménko nerovnosti se nemění

loj · 11. 06. 2016 16:48

↑ Al1: ahaa. proč já se nad tím vůbec nepozastavím? díky moc!

gadgetka

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pozdě... :)

loj · 11. 06. 2016 17:00

↑ gadgetka: takže to neplatí jen pro kladné číslo menší než 1, ale i pro záporná (jen se ujišťuji, protože nějak si nevzpomínám, že by mi tohle jednoduché pravidlo utkvělo v paměti)?

Al1 · 11. 06. 2016 17:23

↑ loj:

Exponenciální funkce $y=a^{x}$ je definovaná tak, že pro základ a platí $a\in \mathbb{R}^{+}\setminus \{1\}$ .

Fce je klesající pro $a\in (0;1)$ a rostoucí pro $a\in (1;\infty )$