Matematické Fórum

899j · 05. 06. 2016 15:47

Zdravím, neporadil by mi někdo, jak pracovat s euler-langrangeovou rovnicí, když je tam vazba? A jak tam pak dosadit ty podmínky... děkuji
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-06/34400_589.png

Rumburak

↑ 899j:
Ahoj.

Použije se věta o Lagrangeově multiplikáru, přesněji: její zobecněná verse pro funkcionály,
tj. funkce, jejichž definiční obor je podmnožinou prostoru nekonečné dimense.
Výstupem uvedené věty bude diferenciální rovnice pro hledanou funkci.

Matematická teorie, která se tímto typem úloh zabývá, se nazývá variační počet.

Xainna · 12. 06. 2016 01:17

Dobře, ale podle spolužáka ta lambda (z multiplikátorů) vychází v exponenciele, jak se ji pak zbavit?

Rumburak

↑ Xainna:
Je otázka, zda spolužák postupoval správně, mně se ten jeho mezivýsledek nezdá.
Odpoledne se k tématu vyjádřím podrobněji.

Rumburak

Takže máme funkciionály

$F(y) = \int_{-1}^1 y^2(x) \d x , G(y) = \int_{-1}^1 y'^2(x) \d x$

na prostoru $H$ , kamž zařadíme funkce $y$ splňující dané okrajové podmínky, při čemž dále budeme
předpokládat, že existují $y', y''$ a $y, y', y'' \in L^2(-1, 1)$ .

Vezměme funkce $y, h \in H$ , kde $h \ne 0$ , a spočtěme nejprve diferenciál funkcionálu $F$
v bodě $y$ ve směru $h$ , což bude

$\lim_{t \to 0} \frac{F(y + th) - F(y)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t}\int_{-1}^1 ((y + th)^2 - y^2) \d x = \\ = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t}\int_{-1}^1 (2y\cdot th + t^2 h^2) \d x = \int_{-1}^1 2yh \d x$ .

Odtud je zřejmé, že hledaným diferenciálem funkcionálu $F$ je lineární forma $F'(y) : h \mapsto \int_{-1}^1 2yh \d x$ .

Obdobnou technikou určíme diferenciál zobrazení $G$ v bodě $y$ ve směru $h$ :

$\lim_{t \to 0} \frac{G(y + th) - G(y)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t}\int_{-1}^1 ((y' + th')^2 - y'^2) \d x = \\ = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t}\int_{-1}^1 (2y'\cdot th' + t^2 h'^2) \d x = \int_{-1}^1 2y'h' \d x = - \int_{-1}^1 2y''h \d x$ ,

(poslední úpravu jsme získali integrací per partes), takže hledaným diferenciálem funkcionálu $G$ je
lineární forma $G'(y) : h \mapsto -\int_{-1}^1 2y''h \d x = \int_{-1}^1 2(-y'')h \d x$ .

Rovnice $F'(y) - \lambda G'(y) = 0$ z věty o Lagrangeově multiplikátoru pro funkcionální prostory
snadno vede k diferenciální rovnici $y - \lambda(-y'') = 0$ , tj. $y + \lambda y'' = 0$ . Její řešení ovšem
při určítém vyjádření bude mít - hrubě řečeno - "lambdu v exponenciále".