Matematické Fórum

zuzaproch5 · 13. 06. 2016 18:50

Zdravím, potřebovala bych převést rekurentní vzorec posloupnosti $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}, a_{1}=1, a_{2}=2$ na vzorec pro n-tý člen a pak ještě jeden: $a_{n}=2a_{n-1}+a_{n-2}, a_{1}=1, a_{2}=3$
Mám jenom takový nástřel, kde si napíšu součet $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$ to upravím a pak nevím co dál?

gadgetka · 13. 06. 2016 19:17

Ahoj, napiš si prvních pár členů.

misaH · 13. 06. 2016 19:19 — Editoval misaH (13. 06. 2016 19:21)

$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$

Tento predpis hovorí napríklad to, že tretí člen zistíš ako súčet druhého a prvého.

Alebo že štvrtý získaš ako súčet tretieho a druhého.

zuzaproch5 · 13. 06. 2016 19:46

↑ gadgetka:
To jsem udělala, členy jsou: $1;2;3;5;8;13;21;34;55...$ ale ať dělám co dělám vzorec pro n-tý člen z toho nevykoukám...

zuzaproch5 · 13. 06. 2016 20:06

Tak když budu chtít řešit to první vyjádření $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$ kde $a_{1}=1, a_{2}=2$
Vyjádřím si členy pomocí rekurentního vzorce: $a_{1}=a_{1}, a_{2}=a_{2}, a_{3}=a_{1}+a_{2}, a_{4}=a_{3}+a_{2}, ..., a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$ Sečtu všechna vyjádření a dostanu: $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+...+a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{1}+a_{2}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n-2}+a_{n-1}$ , když to poupravím dostanu:
$a_{n}=a_{2}+(a_{1}+...+a_{n-1})$
Pořád ale nemám vzorec pro n-tý člen, se kterým pak ještě potřebuji pracovat... Co dál?

misaH · 13. 06. 2016 20:14

↑ zuzaproch5:

Podľa teórie ide o Fibonacciho postupnosť, ktorá sa dá vyjadriť len rekurentne.

gadgetka

Anebo takhle... ;)

$a_n=\frac{$\frac{1+\sqrt 5}{2}$^{n+1}-$\frac{1-\sqrt 5}{2}$^{n+1}}{\sqrt 5}$

Edit: Pochopitelně jsem to nepočítala, jen - stejně jako Míša, jsem to vyčetla... :)

zuzaproch5 · 13. 06. 2016 20:46

Díky :-)

misaH · 13. 06. 2016 21:08

Ale to je.vraj len približné...

zuzaproch5 · 13. 06. 2016 22:02

To je v pohodě, myslela jsem, že tím vyřeším řetězový zlomek a ta Fibonacciho posloupnost do toho krásně zapadá, to už je řešený jinde :-)

misaH · 13. 06. 2016 22:11

↑ zuzaproch5:

:-)

vanok · 13. 06. 2016 22:18 — Editoval vanok (13. 06. 2016 22:23)

Ahoj ↑ zuzaproch5:
Ak vam v skole povedali, ze treba hladat riesenie vdaka linearnych kombinaciam mocnin korenov charakteristickej rovnice, tak potom lahko mozes prist k vysledku.
Co sa tyka prvej otazky
Vtedy mame danu rovnicu $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$
Ak predpokladas ze jej korene su formy $a_n=x^n$ , dosadenim a upravou dostanes
$x^2-x-1=0$ , najdi jej korene... $x_1, x_2$
A vyjadri ze $a_n= \alpha x_1^n+\beta x_2^n$ , kde $\alpha ;\beta$ najdes vdaka $a_1;a_2$
( vdaka jednoduchemu systemu).
( toto vsetko vam normalne povedali v skole!)
A zazrak dostanes presne hladane riesenie.

Podla tohto modelu, najdi riesenie aj na druhu otazku.

To je bezne cvicenie? Alebo priprava na olympiadu?

zuzaproch5 · 08. 09. 2016 20:52

↑ vanok:
Jen běžné cvičení, díky :-)

jarrro · 08. 09. 2016 23:20 — Editoval jarrro (08. 09. 2016 23:24)

↑ misaH:je to presné dosaď za n 1 a 2
a tiež za acka v rekurentnom predpise (+si uvedom že základy mocnín sú korene "zlatej" rovnice

vanok · 09. 09. 2016 00:49

Ahoj ↑ jarrro:,
Ano, presne tak a preto som napisal ↑ vanok: .
No to je nadhera ako sa doplnujeme v tomto vlakne.

Matematické Fórum

#1 13. 06. 2016 18:50

Převod z rekurentního vyjádření posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#2 13. 06. 2016 19:17

Re: Převod z rekurentního vyjádření posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#3 13. 06. 2016 19:19 — Editoval misaH (13. 06. 2016 19:21)

Re: Převod z rekurentního vyjádření posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#4 13. 06. 2016 19:46

Re: Převod z rekurentního vyjádření posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#5 13. 06. 2016 20:06

Re: Převod z rekurentního vyjádření posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#6 13. 06. 2016 20:14

Re: Převod z rekurentního vyjádření posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#7 13. 06. 2016 20:30 — Editoval gadgetka (13. 06. 2016 20:31)

Re: Převod z rekurentního vyjádření posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#8 13. 06. 2016 20:46

Re: Převod z rekurentního vyjádření posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#9 13. 06. 2016 21:08

Re: Převod z rekurentního vyjádření posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#10 13. 06. 2016 22:02

Re: Převod z rekurentního vyjádření posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#11 13. 06. 2016 22:11

Re: Převod z rekurentního vyjádření posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#12 13. 06. 2016 22:18 — Editoval vanok (13. 06. 2016 22:23)

Re: Převod z rekurentního vyjádření posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#13 08. 09. 2016 20:52

Re: Převod z rekurentního vyjádření posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#14 08. 09. 2016 23:20 — Editoval jarrro (08. 09. 2016 23:24)

Re: Převod z rekurentního vyjádření posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

#15 09. 09. 2016 00:49

Re: Převod z rekurentního vyjádření posloupnosti na vzorec pro n-tý člen

Zápatí