Matematické Fórum

Freedy · 11. 06. 2016 20:09

Ahoj,

snažím se najít nějaký proti příklad, proč by neplatila takováto věta:

Nechť f je omezená na intervalu $\langle a,b \rangle$ (a,b jsou reálná). Pak
$f\in R\langle a,b \rangle\Leftrightarrow f\in N(a,b)$

Existuje nějaká omezená funkce, která má Newtonův a nemá Riemannův integrál? Nebo naopak?
Popřípadě i příklad nějaké takové funkce?

Děkuji.
F

vlado_bb · 11. 06. 2016 20:26

↑ Freedy:Pomocka: prve derivacie su darbouxovske.

Freedy · 11. 06. 2016 22:07 — Editoval Freedy (11. 06. 2016 22:09)

Nevím jak to přesně myslíš.
Pokud je f integrovatelná na (a,b) pak má Darbouxovu vlastnost. Tedy zobrazuje interval na interval. Ale jakou to má souvislost s první derivací?

Stýv · 11. 06. 2016 22:14

↑ Freedy:

Pokud je f integrovatelná na (a,b) pak má Darbouxovu vlastnost.

Integrovatelná newtonovsky, nebo riemannovsky?

Freedy · 11. 06. 2016 22:44

Integrovatelná - existuje k ní primitivní funkce, která je spojitá a platí $F'(x) = f(x)$ pro x z daného intervalu.
Takže Newtonovsky...

Bati · 12. 06. 2016 00:53

Ahoj ↑ Freedy:,
neplatí ani jedna implikace té věty. To, že z (R) neplyne (N) se mi zdá jasné - stačí vzít "schod", který je (R)-int., ale není (N)-ïnt., protože v zásadě jediný rozumný kandidát na primitivní funkci je $\int_0^xf$ , což ale nemá derivaci v místě skoku $f$ . Obecně platí, že to nejlepší, co lze očekávat od $\int_0^xf$ pro obecnou f je absolutní spojitost, tedy diferencovatelnost pouze skoro všude.

Protipříklad na opačnou implikaci se zdá být trochu náročnější. V příkladu 4. odsud je konstrukce funkce G, která splňuje
a) G' existuje všude;
b) G'=0 skoro všude;
c) množina bodů nespojitosti G' má kladnou Lebesgueovu míru.
Pak už se jen použije c) a Lebesgueova charakterizace (R)-int. funkcí.

Freedy · 13. 06. 2016 01:01

Ahoj, ↑ Bati:

no právě že já ještě zatím netuším, co je kladná Lebesgueova míra.
Proti příklad na implikaci zleva doprava mě mohl napadnout, to je pravda - stačí vzít schod.

Nicméně, napsal jsi konstrukci funkce G takové, že
a) G' existuje všude - to znamená, že existuje a je vlastní? To znamená, že má Newtonův integrál? Tedy zaručuje to existenci konečných jednostranných limit v krajních bodech?.
b) G' = 0 to znamená, že g je "skoro" nulová funkce?
c) nechápu Lebesgueovu míru. Chtěl jsem se tomu právě že vyhnout, protože toto ještě neovládám.

Děkuji za upřesnění.

Bati · 13. 06. 2016 09:29

↑ Freedy:
a) ta derivace existuje (myslí se konečná) v každém bodě nějakého uzavřeného intervalu, takže i v krajních.
b) ano, je nulová všude kromě nějaké množiny, která má Lebsgueovu míru 0.
c) Tu charakterizaci dokazuje např. i Jarník v integrálním počtu 2, na straně 443 dole (pomocná věta). Lebesgueově míře se ale asi nevyhneš.

Lebesgueova míra se dá zavést více způsoby, na netu je určitě najdeš. V určitém smyslu je to jediná "rozumná" míra na Euklidovských prostorech. Platí např. to, co bycom očekávali, že míra spočetných množin bude nula (ale i některých nespočetných).

Rumburak

↑ Freedy:

Ahoj.

Jedním z předpokladů konstrukce R-integrálu je omezenost dané funkce na daném intervalu,
zatímco u N-integrálu takový požadavek není. Příklad: mám dojem, že

$(N) \int_0^1 \ln x \d x$

má konečnou hodnotu, avšak odpovídající R-integrál neexistuje pro neomezenost integrované
funkce na (0, 1).

Freedy · 13. 06. 2016 10:16

↑ Rumburak:
to je mi samozřejmě jasné. Proto jsem uvažoval pouze omezené funkce na uzavřeném intervalu.

↑ Bati:
Lebesgueova míra mě čeká v 3. semestru. Sám se na tuto látku celkem těším. Zkusím si o tom počíst už něco málo teď a rovněž porozumět tomu odkazu co jsi posílal.

Rumburak · 13. 06. 2016 14:51

↑ Freedy:
Aha, předpoklad, že nás zajímají pouze omezené funkce, mi unikl.

vanok · 14. 06. 2016 06:01

Pozdravujem.
Toto http://math.feld.cvut.cz/mt/txtd/1/txe3da1d.htm sa oplati precitat.

Matematické Fórum

#1 11. 06. 2016 20:09

Dotaz - integrál

#2 11. 06. 2016 20:26

Re: Dotaz - integrál

#3 11. 06. 2016 22:07 — Editoval Freedy (11. 06. 2016 22:09)

Re: Dotaz - integrál

#4 11. 06. 2016 22:14

Re: Dotaz - integrál

#5 11. 06. 2016 22:44

Re: Dotaz - integrál

#6 12. 06. 2016 00:53

Re: Dotaz - integrál

#7 13. 06. 2016 01:01

Re: Dotaz - integrál

#8 13. 06. 2016 09:29

Re: Dotaz - integrál

#9 13. 06. 2016 09:55 — Editoval Rumburak (13. 06. 2016 09:57)

Re: Dotaz - integrál

#10 13. 06. 2016 10:16

Re: Dotaz - integrál

#11 13. 06. 2016 14:51

Re: Dotaz - integrál

#12 14. 06. 2016 06:01

Re: Dotaz - integrál

Zápatí