Matematické Fórum

zuzka13 · 18. 06. 2016 11:54

Prosím poradíte mi?.. Jsem nějak dutá po ránu..a asi uplne nechápu algebru.

Uveďte příklady množin generátorů a bází vektorových prostorů R2, R3, R4.
Uveďte příklady množin generátorů vektorových prostorů R2, R3, R4, které nejsou jejich bázemi, a správnost těchto příkladů dokažte.

Děkuji za cokoliv :)

Pritt · 18. 06. 2016 12:49 — Editoval Pritt (18. 06. 2016 13:11)

↑ zuzka13:

Ahoj,
jaká je definice báze vektorového prostoru? Co znamená, že soubor (resp. množina) vektorů generuje nějaký vektorový prostor?

Vektory $\vec x_1, \vec x_2, ... , \vec x_n$ generují vektorový prostor V, pokud $[\vec x_1,\vec x_2, ..., \vec x_n]_\lambda = V$ .

Soubor vektorů $(\vec x_1, \vec x_2, ... , \vec x_n)$ je báze vektorového prostoru V, pokud platí:
1) $\vec x_1, \vec x_2, ... , \vec x_n$ jsou lineárně nezávislé.
2) $\vec x_1, \vec x_2, ... , \vec x_n$ generují vektorový prostor.

Takže například vezměme prostor $\mathbb{R}^2$ .
Je tento prostor generován vektory $\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$ ?
Tvoří tyto dva vektory bázi R^2?
Je třeba generován také vektory $\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}5 \\ 0 \end{pmatrix}$ ?
Tvoří také tyto vektory bázi R^2?

zuzka13 · 18. 06. 2016 13:51

Děkuji ti.

Tak ten příklad první.. nezávislé nejsou, a generování je že vytváří lineární kombinace? což by bylo třeba $k*\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix} +l*\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$ ??

Pritt · 18. 06. 2016 13:59 — Editoval Pritt (18. 06. 2016 14:03)

↑ zuzka13:

Vektory $\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$ jsou lineárně nezávislé. Jinak řečeno, jeden nelze vyrobit z druhého. Teď stačí zjistit, jestli $[\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}]_\lambda = \mathbb{R}^2$ . Tzn jestli generují prostor R^2. Tedy jestli jejich lineární kombinace dokáží vytvořit všechny ostatní vektory z R^2. No ale protože máme prostor R^2 a dva LN vektory, pak nutně tyto dva vektory tvoří bázi a množina všech jejich lineárních kombinací tvoří R^2.

U otázky jestli nějaké vektory generují vektorový prostor to stačí takhle okomentovat.

vanok · 18. 06. 2016 14:04

Ahoj ↑ zuzka13:,
Poznamka, ( tykajuca sa prveho prikladu)
$\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$ su linearne nezavisle.
To si dobre poznamenala, ze generuju $\mathbb{R}^2$ .... Cize je to jedna baza priestoru.

Taka mala pomoc.... Ak najdes nejaku bazu priestoru. Pocet jej prvkov je dimenzia priestoru.
A kazda baza nejakeho priestoru ma vzdy ten isty pocet prvkov (= dim. priestoru)

zuzka13 · 18. 06. 2016 14:06

Jo, vím že jsou nezávisle.. omlouvám se zkombinovala jsem dva v jendo..:).. takže jejich kombinace dokáží vytvořit ostatní vektory z R^2. a tedy druhý příklad netvoří bází, protže v jsou závislé..

Pritt · 18. 06. 2016 14:48

↑ zuzka13:

Ano. Ale zároveň $[\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}5 \\ 0 \end{pmatrix}]_\lambda = \mathbb{R}^2$ .

Tedy bázi netvoří, jak si správně řekla, ale generují prostor R^2.

zuzka13 · 18. 06. 2016 14:50

jak poznam že generuji?

vanok · 18. 06. 2016 15:35

↑ zuzka13:,
Lahko ukazes ze lubovolny vektor z u $\mathbb{R}^2$ Sa pise ako ich L.K.
Napr. $a\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}+ b \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} +0 \begin{pmatrix}1\\ 2 \end{pmatrix} +0\begin{pmatrix}5 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}$

Matematické Fórum

#1 18. 06. 2016 11:54

Množíny generátorů

#2 18. 06. 2016 12:49 — Editoval Pritt (18. 06. 2016 13:11)

Re: Množíny generátorů

#3 18. 06. 2016 13:51

Re: Množíny generátorů

#4 18. 06. 2016 13:59 — Editoval Pritt (18. 06. 2016 14:03)

Re: Množíny generátorů

#5 18. 06. 2016 14:04

Re: Množíny generátorů

#6 18. 06. 2016 14:06

Re: Množíny generátorů

#7 18. 06. 2016 14:48

Re: Množíny generátorů

#8 18. 06. 2016 14:50

Re: Množíny generátorů

#9 18. 06. 2016 15:35

Re: Množíny generátorů

Zápatí