Matematické Fórum

kolda713 · 18. 06. 2016 15:29

Krásný dobrý den,
mohl by mi prosím někdo vysvětlit důkaz C-B věty? Našel jsem hned několik typů a myslím si, že nejschůdnější je asi důkaz obarvováním. Odkaz str.4. I přes toto vysvětlení nejsem s to pochopit ta zobrazení h a následné obarvení. Předem díky za jakoukoli pomoc.

Rumburak

Ahoj.

Existuje několik důkazů této věty. Jeden z nich snadno plyne z následujícího lemmatu.

Lemma. Nechť $A, B, C$ jsou množiny splňující

(1) $A \supset B \supset C$ ,

(2) $A \approx C$ .

Potom $A \approx B \approx C$ .

Důkaz (bez použití teorie přirozených čísel) .

Předpokládáme, že obě inkluse v (1) jsou ostré - jinak by šlo o triviální případy. Nechť $f$ je bijekce $A$ na $C$ .

I. Označme $S$ systém všech množin $X$ majících vlastnost

(3) $A-B \subseteq X \subseteq A \wedge f(X) \subseteq X$ .

Tuto vlastnost má např. množina $X = A$ , takže systém $S$ je neprázdný a můžeme položit

$T := \bigcap S$

s vědomím, že $T$ je podmnožinou množiny $A$ .

II. Ukážeme, že pro $X = T$ je splněna podmínka (3). Tím bude dokázáno, že $T \in S$ .
Že $A-B \subseteq T \subseteq A$ , je zřejmé. Zbývá ukázat, že platí též $f(T) \subseteq T$ .
Vezměme libovolné $Y \in S$ . Potom $T \subseteq Y$ (protože $T$ je průnikem všech takových $Y$ ) a dále
$f(Y) \subseteq Y$ , odtud triviálně $f(T) \subseteq f(Y) \subseteq Y$ . Tím je dokázáno, že pro libovolné $Y \in S$ platí

(4) $f(T) \subseteq Y$ ,

proto $f(T)$ je částí i průniku všech takových $Y$ , tedy množiny $T$ .
Můžeme říci: $T$ je nejmenším prvkem množiny $S$ vzhledem k jejímu (částečnému) uspořádání inklusí.

III. Pro $x \in A$ definujme zobrazení $g : A \to A$ takto:

$g(x) := f(x)$ pro $x\in T$ ,
$g(x) := x$ pro $x\in A - T$ .

Každá z obou jeho větví je prostou funkcí. Případ $u \in T, v \in A-T , g(u) = g(v)$ nastat nemůže,
protože to by podle definice funkce $g$ znamenalo $f(u) = v \notin T$ , což by bylo ve sporu s již dokázanou formulí
$f(T) \subseteq T$ . Takže zobrazení $g$ je prosté "celé".

IV. Ukážeme, že $g(A) \subseteq B$ .

Pro $x\in T$ je $g(x) = f(x) \in C \subset B$ .
Pro $x\in A-T$ je $g(x) = x \in A-T$ , takže kdyby platilo $g(x) \notin B$ , znamenalo by to $x\in A- B \subseteq T$ ,
tedy spor s předpokladem $x\in A-T$ .

V. Ukážeme, že $B \subseteq g(A)$ . Nechť tedy $b \in B$ a hledejme, zda $b = g(a)$ pro vhodné $a \in A$ .

1. Když $b \in B-T \subseteq A-T$ , potom dle definice funkce $g$ je $b = g(b)$ (při čemž $b \in A$ ).

2. Nechť $b \in B\cap T \subseteq T$ a pro spor předpokládejme, že $b \notin g(A)$ . Položme

(5) $X = T-\{b\}$ .

Snadno nahlédneme, že množina (5) má vlastnost (3), takže patří do systému $S$ . Mělo by tedy platit $T \subseteq X$ ,
což ale pro množinu (5), kde $b \in T$ , zjevně splněno neníí. To je hledaný spor.

Nalezli jsme zobrazení $g$ , které je bijekcí $A$ na $B$ .

Rumburak

Věta Cantorova-Bernsteinova:

Nechť jsou dány množiny $V, W$ a prostá zobrazení $p : V\to W$ , $q : W\to V$ .
Potom existuje zobrazení $r : V\to W$ , které je bijekcí $V$ na $W$ ..

Důkaz.
Položme $A := V , B := q(W) , C := q(p(V))$ a použijme Lemma z předchozího příspěvku,
který je již dokončen. Funkcí $f$ je zde $q \circ p$ .

Matematické Fórum

#1 18. 06. 2016 15:29

Cantor-Bernsteinova věta, důkaz

#2 20. 06. 2016 10:47 — Editoval Rumburak (24. 06. 2016 15:02)

Re: Cantor-Bernsteinova věta, důkaz

#3 24. 06. 2016 14:20 — Editoval Rumburak (24. 06. 2016 15:16)

Re: Cantor-Bernsteinova věta, důkaz

Zápatí