Matematické Fórum

Skrytý text:
Ahoj, od celkem 120 permutací na množině o prvcích 1,2,3,4,5 musíme odečíst ty permutace, kde se nacházejí následující sekvence čísel:

1) Nejdříve vezmeme dvojice , které budou mít stejné rozdíly. Budou to dvojice
A) s rozdílem = 1:
1,2 - 3,4   
1,2 - 4,5   
2,3 - 4,5

(plus dvojice, kde jsou prvky v obráceném pořadí)
Příklad: 1,2,5,3,4 je permutace, kterou musíme vyloučit. Takže i permutaci 2,1,5,4,3.

B) s rozdílem = 2:
1,3 - 2,4
2,4 - 3,5

(plus dvojice, kde jsou prvky v obráceném pořadí)

C) s rozdílem = 3:
1,4 - 2,5

(plus dvojice, kde jsou prvky v obráceném pořadí)

Větší rozdíl už v jedné permutaci určitě dvakrát nenastane.

2) Teď vezmeme trojice, které nevyhovují.
A) s rozdílem = 1:
1,2,3
2,3,4
3,4,5

(plus trojice, kde jsou prohozené první a poslední prvky)

B) s rozdílem = 2:
1,3,5

(plus trojice, kde jsou prohozené první a poslední prvky)

Další trojice už tam nebudou.

Zpátky k 1) Kolik permutací bude takových, že obsahují dvojice 1,2 - 3,4?
Můžou vypadat takto: 1,2,3,4,5 nebo 5,1,2,3,4 nebo 1,2,5,3,4. To jsou 3. Plus ale dvojice 3,4 si může prohodit místa s 1,2, takže krát 2, plus to samé platí pro dvojici 2,1 - 4,3 takže ještě jednou krát 2.

Máme celkem 6 nevyhovujících dvojic, takže z máme z  bodu 1) 120 - 6*3*2*2 = 120 - 72 = 48.

Ad 2) Permutace s trojicí 1,2,3 může vypadat takto: 1,2,3,5,4 ale také 1,2,3,4,5 nebo 5,4,1,2,3     4,5,1,2,3 nebo 4,1,2,3,5 nebo 5,1,2,3,4 -tři případy jsme ale už vyloučili u dvojic.  Takže to jsou 3 možnosti jak jedna trojice může být umístěná v permutaci. Plus permutace s prohozenými prvky.
Nevyhovující trojice jsou 4.

Takže z bodu 2) 48 - 4*3*2 = 48 - 24 = 24.

Takhle jsme snad vyloučili všechny nevyhovující možnosti.
Samozřejmě jsem na něco mohl zapomenout, tak třeba někdo najde protipříklad - permutaci, která není vyloučená.