Matematické Fórum

livia · 21. 06. 2016 08:00

Zdravím,
potrebovala by som poradiť z určením hraníc pre integrál na výpočet obsahu slučky, ktorú uzatvára krivka daná parametricky:
$x=t^2-2t+3$
$y=t^3-t^2-5t+4$

Zostavím integrál podľa vzorca
$S=|\int_{a}^{b} y(t).x(t)' dt|=|\int_{?}^{?} 2t^4-4t^3-8t^2+18t-8 dt|$

Ale neviem si určiť hranice, krivku neviem nakresliť. Ako by som mala postupovať?

Ďakujem.

Jj · 21. 06. 2016 11:04 — Editoval Jj (25. 06. 2016 18:16)

↑ livia:

Dobrý den.

Křivka vypadá takto: Odkaz

Pro hodnoty t1, t2 parametru v bodě, v němž se křivka protíná, platí:

x(t1) = x(t2), y(t1)=y(t2) --> t1 = -1, t2 = 3 --> pro smyčku (-1 <= t <= 3)

Skryto - chyba

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Doufám, že jsem se nespletl - teď se tu asi dva dny nedostanu. Připadně - někdo mě opraví.

livia · 21. 06. 2016 19:23

↑ Jj:
Ďakujem za odozvu.

A ako by sme tie hodnoty t1, t2 mohli vypočítať?
Lebo ak si vytvorím na základe x(t1) = x(t2), y(t1)=y(t2) sústavu rovníc, tak to neviem vypočítať.

Ja som tie hranice vlastne dokázala nájsť, išla som na to tak, že som skúšala dosadzovať za t rôzne čísla až pokiaľ som nedostala x(t1) = x(t2), y(t1)=y(t2). Ale to mi nie vždy musí výjsť- mohlo by ísť o číslo, ktoré nie je celé, takto by som mohla potom skúšať donekonečna a k výsledku sa nedopracujem. Ako mám teda vypočítať t1, t2?

Integrál mi vyšiel správne, aj keď som použila ten môj vzorec. Mňa skôr trápili tie hranice.

Al1 · 21. 06. 2016 19:50

↑ livia:

Zdravím,

k té soustavě:
$t_1^2-2t_1+3=t_2^2-2t_2+3\nl t_1^3-t_1^2-5t_1+4=t_2^3-t_2^2-5t_1+4$

Z první rovnice plyne
$t_1^2-t_2^2-2t_1+2t_2=0\nl (t_{1}-t_{2})(t_{1}+t_{2})-2(t_{1}-t_{2})=0\nl (t_{1}-t_{2})((t_{1}+t_{2}-2)=0$

Dostaneme $t_{1}=t_{2}\vee t_{1}=2-t_{2}$

A dosadíme do druhé rovnice.