Matematické Fórum

real8 · 13. 06. 2016 13:05

Dobrý den,
mám dva dotazy k vyšetřování extrému funkce na neomezené množině.

Mám nalézt extrémy funkce na neomezené množině. Vyučujícím nám byla doporučena metoda uzavření množiny do koule (tedy dostanu kompaktní množinu a vím, že se extrémů bude nabývat), jejíž poloměr určím až po výpočtu extrémů. Následně ukážu, že pro ten extrém, který mě zajímá, se "to podstatné" děje v kouli, na hranici a mimo kouli funkce nabývá pro náš extrém "nezajímavých hodnot".

Např.: Mějme funkci $f(x,y,z)=x^{2}+3y^{2}+z^{2}$ na množině $M=\{[x,y,z]:x^{2}+y^{2}=z^{2}, x*y\ge 1\}$ . Množina není omezená, supremum funkce na M bude $\infty$ . Přidám další podmínku: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\le R^{2}$ .
Následně vyšetřím extrémy, dojdu k nejmenší hodnotě $4\sqrt{2}$ .
Tedy platí: stačí vzít R=3. Pak pro $[x,y,z]$ splňující $x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge R^{2}$ platí: $f(x,y,z)=x^{2}+3y^{2}+z^{2}\ge x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge R^{2}=9\ge4\sqrt{2}$ .
Tedy nalezená hodnota je skutečně minimum.

Dotazy - jde mi o tu závěrečnou řadu nerovností, kterými obhájím, že to, co jsem vypočítal, se skutečně týká celé množiny
1) V případě, že vztah mezi předpisem funkce a koulí nebude tak jasný jako v příkladu výše (tam bylo jasné, že $x^{2}+3y^{2}+z^{2}\ge x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ), je to tak, že postup je analogický, až na to, že musím pečlivějí volit poloměr? Např. funkce $x^{2}+2z^{2}$ na množině $\{x^{2}+y^{2}=9, z-y^{2}+1\ge 0\}$ . Z podmínek jsem došel k tomu, že pro body mimo kouli by mělo nějak platit $z^{2}\ge 16\ge y^{2}$ , tedy pro R=5 by měla být ta série nerovností v pořádku.

2) Jak si v závěru poradit s tím, že funkce nemá minimum? Tedy např. $f(x,y,z)=x+2z$ na množině $M=\{x^{2}+2y^{2}=4, z+y^{2}\le 1\}$ . Nalezl jsem výše zmíněným postupem bod $[2,0,1]$ , ve kterém funkce skutečně nabývá maxima, ale nějak se mi nedaří sestavit tu sérii nerovností, která ukáže, že vyšetřování jen na omezené množině bylo legitimní.

Díky za pomoc

real8 · 15. 06. 2016 17:29

Opravdu byste někdo, prosím, nevěděl, jak vysvětlit v závěru příkladu to, že mnou nalezený bod je skutečně maximum na celé množině (tj. dotaz 2)? Díky

jelena · 16. 06. 2016 22:23

Zdravím,

dle 6. odstavce úvodního tématu pro pokročilé VŠ jsem již přesouvala do pokročilých, ale kolega Stýv to opět přesunul zpět. Tak se bude muset nepokročile. U zadání 2) je podmínka pro válec (s elipsou v základně $x^{2}+2y^{2}=4$ ) jen jako rovnost?

Potom bych uvažovala, že $f(x,y,z)=x+2z$ je rovina, lze najít průsečík s uvedenou plochou válce a na něm hledat extrémy, k tomu je ještě nekonečný "tunel" omezený $z+y^{2}\le 1$ , ale ten s uvedeným válcem tvoří oblast shora uzavřenou parabolickým tunelem, ale dole otevřenou. Tedy bych hledala nejdřív průsečíky roviny s válcem a parabolickým tunelem. Jak to vychází? Souhlasí to s nalezeným maximem $[2,0,1]$ ? Děkuji (a kolegům za zapojení do debaty).

Rumburak · 17. 06. 2016 10:26

↑ real8:

Ahoj ve spolek.

Vím, že moje reakce není odpovědí na dotaz, nicméně může se zde hodit.

Připadá mi, že podmínkou

(1) $z^2 = x^2 + y^2$

uplatněné v definici množiny

$M=\{[x,y,z]:x^{2}+y^{2}=z^{2}, xy \ge 1\}$

a vzhledem k funkčnímu předpisu

$f(x,y,z)=x^{2}+3y^{2}+z^{2}$

lze proměnnou $z$ v hlavním výpočtu "vyloučit ze hry": Nejprve vyšetříme extrémy funkce

$g(x,y)= 2x^{2}+4y^{2}$

na množině $N=\{[x,y] : xy \ge 1\}$ , takže nalezenému extrémálnímu bodu $[a, b] \in N$
z druhé úlohy pak budou odpovídat body $[a, b, \pm\sqrt{a^2 + b^2}] \in M$ hledané v původní úloze.

jelena · 17. 06. 2016 20:56

Zdravím,

↑ Rumburak: ve kterém spolku mám pozdrav vyřídit ?:-) Děkuji za zapojení do tématu.

v příspěvku ↑ 3: nejspíš nemluvím správně, že $f(x,y,z)=x+2z$ je rovinou (to bychom byli jen v f(x,y) - tak?). Pokud mám brát, že podmínka $x^{2}+2y^{2}=4$ (rovnost) platí, potom bych měla extrém hledat pouze na plášti tohoto válce (a na takových "částech" tohoto pláště, co vysekne kolmo procházející "parabolicky tunel"). Potom mohu předpokládat, že na jednom takovém "výseku - listu" zadána funkce nabývá maximum, ale už nebude mít minimum (jelikož jak funkce $f(x,y,z)=x+2z$ , tak "listy" směrem k minus nekonečnu žádné omezení nemají). Je nutné k tomu hledat omezující nerovnici, jak má v plánu kolega ↑ real8:?

Předpokládám, že úloha tohoto typu by měla smysl při řešení některé optimalizace (kde by omezení mohlo plynou z "praktického" smyslu úlohu). A opět děkuji.

jelena · 22. 06. 2016 20:41

↑ Rumburak:

Zdravím a děkuji, ale úplně jasné mi to není. Funkci $h(x, z) = 4-2y^{2}$ , kde $h(x, z) := x^2$ máme tedy v implicitním tvaru? Jak jsme naložili s další podmínkou $z+y^{2}\le 1$ , která byla v zadání ↑ příspěvek 1:?

geometrická představivost v prostorech dimense 4 a více

pokud rozumím, tak kolegovi šlo o to, jak se postavit k extrémům s vazbou, když vazba nezadává uzavřenou oblast. Nevybavuji, že bych až na některé konkrétní dílčí, případy viděla návod jak se k tomu postavit. Ale ani bych jednotný návod nepředpokládala, spíš užití definic extrémů funkcí více proměnných s přihlédnutím ke konkrétnímu zadání. Autor tématu se k problému nevrátil, u nás v Opavě je velmi mnoho aktivit (+je třeba dokonat), tak až někdy v nadcházejících časech, nehoří. Děkuji.

Rumburak · 23. 06. 2016 11:57

↑ jelena:

Zdravím také.
Podmínku $z+y^{2}\le 1$ jsem přehlédl - omlouvám se - a příslušný svůj příspěvek odsoudím k věčné tmě.

jelena · 23. 06. 2016 22:18

↑ Rumburak:

ještě pozdravy a děkuji za vyjasnění. Věčné tmy nemohou být použity, pokud na příspěvek někdo (tedy já) reagoval(a). Jelikož však celkový pohled na téma tato část nemůže příliš ovlivnit, tak můžeme ponechat příspěvek v úschově.

Třeba jednou se autor tématu ozve, jak to nakonec dopadlo. Děkuji za diskusi.

Matematické Fórum

#1 13. 06. 2016 13:05

Extrémy funkce na neomezené množině

#2 15. 06. 2016 17:29

Re: Extrémy funkce na neomezené množině

#3 16. 06. 2016 22:23

Re: Extrémy funkce na neomezené množině

#4 17. 06. 2016 10:26

Re: Extrémy funkce na neomezené množině

#5 17. 06. 2016 20:56

Re: Extrémy funkce na neomezené množině

#6 18. 06. 2016 12:29 — Editoval Rumburak (22. 06. 2016 09:13) Příspěvek uživatele Rumburak byl skryt uživatelem Rumburak. Důvod: Přehlédl jsem se v zadání.

#7 22. 06. 2016 20:41

Re: Extrémy funkce na neomezené množině

#8 23. 06. 2016 11:57

Re: Extrémy funkce na neomezené množině

#9 23. 06. 2016 22:18

Re: Extrémy funkce na neomezené množině

Zápatí