Matematické Fórum

Archer785 · 26. 06. 2016 10:31

Zdravím,

nevím si rady s první částí tohohle příkladu - konkrétně se sestavením té dané matice zobrazení A. Zkoušel jsem vyrobit matici lineárního operátoru která by měla tři vlastní čísla, jeno náhodné, potom 1 a -1 a pro poslední dvě vlastní čísla vyrobit vlastní vektor, ale nedařilo se mi to - a hlavně si myslím že to byla blbost. Co to zadání vlastně říká a jak to můžu uchopit ?

Díky

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-06/29659_Untitled.png

Pritt · 26. 06. 2016 21:08

Ahoj ↑ Archer785:,

tady bude potřeba trocha teorie.

1) pro geometrickou násobnost vlastního čísla matice platí, že: $\nu_g(\lambda) \ge 1, \lambda \in \sigma(A).$

2) matice A je diagonalizovatelná, tj. podobná diagonální matici právě tehdy, když $\forall \lambda \in \sigma(A): \; \nu_g(\lambda) = \nu_a(\lambda)$ . Tedy že geometrická a algebraická násobnost je stejná pro všechny vlastní čísla matice A.

3) diagonální matice má nenulové prvky pouze na diagonále.

4) definice vlastního čísla a vlastního vektoru:
$A \in \mathbb{C}^{n,n}$ . Číslo $\lambda \in \mathbb{C}$ nazveme vlastním číslem matice A, pokud existuje vektor $\vec x \in \mathbb{C}^n, \; \vec x \neq \vec 0$ , takový, že $A \vec x = \lambda \vec x$ .

5) A ještě přečíst definici matice lineárního zobrazení v bázích.

Toto by tě mělo stačit k řešení úlohy.

Archer785 · 26. 06. 2016 21:13

No teorii bych i zvládal, ale bohužel si to nedokážu propojit - nevím jak z toho že znám dvě vlastní čísla ze tří dokážu sestavit matici ve který jsou vlastní vektory operátoru, o kterým toho moc nevím :-D

Pritt · 26. 06. 2016 21:14

↑ Archer785:

Dobře, tak nabízí se otázka:

Je matice A diagonalizovatelná?

Archer785

no tak to záleží i na tom prvním vlastním čísle, ale zadaný máme jen druhý a třetí vlastní číslo (a nebo proste nerozumim tomu co je v zadani :-D )

Pritt · 26. 06. 2016 21:23 — Editoval Pritt (26. 06. 2016 21:28)

↑ Archer785:

Aha takhle, no vlastní čísla nemusí být tři. Jsou dvě a jsou to dokonce všechny vlastní čísla matice A. :)

Ke každému přísluší nějaké vektory. Podle bodu 1) z ↑ Pritt:, $\nu_g(-1) = \nu_a(-1) = 1$ . Protože vlastnímu číslu -1 přísluší jeden vektor. Jak to je s vlastním číslem 1?

Jeho geometrická násobnost může být bud 1 nebo 2. To záleží na tom, jestli vektory $\vec x_1, \vec x_2$ jsou lineárně nezávislé. Pokud jsou LN potom $\nu_g(1) = \nu_a(1) = 2$ a matice je diagonalizovatelná.

Takže jsou $\vec x_1, \vec x_2$ LN ?

EDIT: ještě doplním, že geometrická násobnost vlastního čísla je dimenze lineárního obalu vlastních vektorů příslušících k tomuto vlastnímu číslu.

Archer785 · 26. 06. 2016 21:39

nebudou LZ ? Chvilku zpatky jsme si dokazovali ze u ruznejch cisel jsou vlastni vektory LN, ale tady si nejsem jistej... Celej tenhle priklad mi hlava nebere :/

Pritt · 26. 06. 2016 21:46

↑ Archer785:

Stačí si přečíst zadání:). Jsou LN, protože společně s vektorem $\vec x_3$ tvoří bázi vektorového prostoru.

Tím pádem matice A je podobná diagonální matici, což znamená, že hodnost matice A, respektive zobrazení A je rovna 3. $h(A) = 3$ .

Takže co ti toto říká o defektu a jádru A?

Archer785 · 26. 06. 2016 21:50

defekt 0, jádro nulový vektor

Archer785 · 26. 06. 2016 21:55

a mozna teda uplne blbej dotaz na konec, ale jak vykoukam ty vlastni vektory jen z vlastnich cisel ?

Pritt · 26. 06. 2016 22:16 — Editoval Pritt (26. 06. 2016 22:17)

↑ Archer785:

Ty vlastní vektory nepotřebuješ znát. Tedy přesně jak vypadají. Stačí jejich vlastnosti.

Matice v bázích sestavíš na základě bodů 4) a 5).

Matematické Fórum

#1 26. 06. 2016 10:31

Sestavení matice lineárního operátoru zadané vlastními vektory

#2 26. 06. 2016 21:08

Re: Sestavení matice lineárního operátoru zadané vlastními vektory

#3 26. 06. 2016 21:13

Re: Sestavení matice lineárního operátoru zadané vlastními vektory

#4 26. 06. 2016 21:14

Re: Sestavení matice lineárního operátoru zadané vlastními vektory

#5 26. 06. 2016 21:18 — Editoval Archer785 (26. 06. 2016 21:19)

Re: Sestavení matice lineárního operátoru zadané vlastními vektory

#6 26. 06. 2016 21:23 — Editoval Pritt (26. 06. 2016 21:28)

Re: Sestavení matice lineárního operátoru zadané vlastními vektory

#7 26. 06. 2016 21:39

Re: Sestavení matice lineárního operátoru zadané vlastními vektory

#8 26. 06. 2016 21:46

Re: Sestavení matice lineárního operátoru zadané vlastními vektory

#9 26. 06. 2016 21:50

Re: Sestavení matice lineárního operátoru zadané vlastními vektory

#10 26. 06. 2016 21:55

Re: Sestavení matice lineárního operátoru zadané vlastními vektory

#11 26. 06. 2016 22:16 — Editoval Pritt (26. 06. 2016 22:17)

Re: Sestavení matice lineárního operátoru zadané vlastními vektory

Zápatí