Matematické Fórum

michx · 27. 06. 2016 07:56

Mám dvě čísla:

$n=a_{3}10^{3}+a_{2}10^{2}+a_{1}10+a_{0}$

$s=a_{3}3^{3}+a_{2}3^{2}+a_{1}3+a_{0}$

Cílem je dokázat, že číslo n je dělitelné 7 právě tehdy, když s je dělitelné 7.

Když učitel tento příklad řešil u tabule, tak udělal $n-s$ a potom vytknul tu sedmičku, čímž to mělo být prokázané. Já ale pořád nechápu princip toho důkazu - můžete mi to prosím někdo vysvětlit?

zdenek1

↑ michx:
$n-s=7(139a_3+13a_2+a_1)$
$n=7(139a_3+13a_2+a_1)+s$

Jak poznám číslo dělitelné sedmi? Když z něj tu sedmičku můžu vytknout a zůstane mi přirozené číslo. Takže když můžu napsat $s=7k$ , $k\in\matrhbb N$ , dosazením dostanu
$n=7(139a_3+13a_2+a_1+k)$

a to prostě znamená, že můžu z $n$ vytknout 7 a závorka bude přirozené číslo (samožřejmě za předpokladu, že $a_3$ , $a_2$ , $a_1$ jsou přirozená čísla)

Zjistili jsme, že když $s$ je dělitelné sedmi, bude i $n$ dělitelné sedmi.

Funguje to i naopak:
Pokud můžu napsat
$n=7(139a_3+13a_2+a_1+b)$ , $b\in\mathbb N$ , platí
$n=7(139a_3+13a_2+a_1)+7b$ a když $7b=s$
dostávám, že když $n$ je dělitelné sedmi, musí být i $s$ dělitelné sedmi.

edit: oprava překlepu

michx · 27. 06. 2016 09:30

zdenek1 napsal(a):
↑ michx:
$n-s=7(139a_3+84a_2+a_1)$

Mě vychází $n-s=7(139a_{3}+13a_{2}+a_{1})$

Dále mám v sešitě napsanou poznámku, že $n-s$ je dělitelné 7 (což chápu), z čehož prý vyplývá že zbytky čísel n a s po dělení sedmi jsou stejné (čemuž příliš nerozumím).

misaH · 27. 06. 2016 10:01 — Editoval misaH (27. 06. 2016 10:04)

↑ michx:

No - niekto ti to asi vysvetlí odborne.

Ja len ilustráciu:

$\frac {45-10}{7}=\frac {45}{7}-\frac {10}{7} =6\frac37-1\frac37$

Aby to bolo deliteľné siedmimi, musí byť rozdiel tých "prídavných" zlomkov rovný 0.

Z toho vyplýva rovnosť ich čitateľov a to sú tie rovnaké zvyšky...

jarrro · 27. 06. 2016 10:28 — Editoval jarrro (27. 06. 2016 10:32)

Ak $a-b=kc$ a $a=mc+z$ tak
$b=a-kc=mc+z-kc=(m-k)c+z$
Podobne ak $b=rc+t$ tak
$a=b+kc=rc+t+kc=(r+k)c+t$
Ak $a=mc+z$ a $b=rc+z$ tak
$a-b=mc+z-rc-z=(m-r)c$

vanok · 27. 06. 2016 10:37

Ahoj ↑ michx:,
Kolega ↑ zdenek1:( pozdravujem) ti dokonale vysvetlil princip dokazu.
Mozes aj vyuzit toto:
Rozdiel n-s sa da napisat aj takto $n-s=7.k$ kde $k$ je nejake cele cislo.
Preto $n=s+7k$ a po deleni 7-imi lahko ukazes, ze n a s maju rovnake zvysky.
Staci?

Matematické Fórum

#1 27. 06. 2016 07:56

Zjištění dělitelnosti čísel rozdílem

#2 27. 06. 2016 08:26 — Editoval zdenek1 (27. 06. 2016 11:21)

Re: Zjištění dělitelnosti čísel rozdílem

#3 27. 06. 2016 09:30

Re: Zjištění dělitelnosti čísel rozdílem

zdenek1 napsal(a):

#4 27. 06. 2016 10:01 — Editoval misaH (27. 06. 2016 10:04)

Re: Zjištění dělitelnosti čísel rozdílem

#5 27. 06. 2016 10:28 — Editoval jarrro (27. 06. 2016 10:32)

Re: Zjištění dělitelnosti čísel rozdílem

#6 27. 06. 2016 10:37

Re: Zjištění dělitelnosti čísel rozdílem

Zápatí