Matematické Fórum

Lobacho

Zdravím,

snažím se vypočítat tento příklad:

$\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1-4x^{2}}}dx$ ,

má to jít substituční metodou. S tou jsem však byl bezradný. Objevil jsem však to, že je ten příklad velmi podobný jednomu ze základních vzorců pro výpočet neurčitých integrálů:

$\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1+x)}}dx=\arcsin x +c$

a je mu podobný v tom, že má jen dvojnásobný argument:

$\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1-4x^{2}}}dx = \int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{(1-2x)(1+2x)}}dx$

Dotaz ode mě, měl by tedy výsledek být: $\arcsin 2x +c$ ?

V klíči v učebnici je napsáno, že správně je $\frac{1}{2}(\arcsin 2x) +c$ , já nemohu přijít na to, kde se tam ta jedna polovina vzala.

Předem děkuji za radu

Kenniicek · 28. 06. 2016 17:31

Skus zderivovat svoj vysledok a potom uz urcite uvidis, preco sa ta 1/2 musi objavit :)

Xellos · 28. 06. 2016 17:34

Hej, substituciou to mozes previest na tabulkovy integral. Ta polovica vyjde ked zodpovedne aplikujes vetu o substitucii resp. si vsimnes ze nielen integrand ale aj dx obsahuje x.

Takjo · 28. 06. 2016 17:37

↑ Lobacho:
Dobrý den,
po jednoduché úpravě výrazu pod odmocninou zkuste substituci: $2x=\sin y$

Lobacho · 28. 06. 2016 18:10

↑ Kenniicek:

děkuji, zpětně jsem derivoval a je to pak jasné že tam ta 1/2 musí bejt, ale pořád mi nedochází jak k tomu dojít přes integraci

↑ Xellos:

když používám substituci tak mám

$1-4x^{2} =y$
$-8x dx = dy$

a s tím se přeci nedá pracovat. Na situace, když je ve jmenovateli polynom třeba 2. řádu, se používá rozklad na parciální zlomky, ale ten zase nejde provést tady, protže tam je ta odmocnina. Můžte být konkrétnější prosím?

↑ Takjo:

nechápu jak mám provést substituci
takto? :
$2x=\sin y$
$2dx = cosy dy$

Takjo · 28. 06. 2016 18:14

↑ Lobacho:
Ano, přesně tak.
A pak se vraťte k původní proměnné: $y=arcsin2x$

Kenniicek · 28. 06. 2016 18:19

↑ Lobacho:

Substitucia v tomto pripade bude:
$t=2x$
$t^{2}=4x^{2}$
$dt=2dx$
Ale my nemame 2dx ale len jedno, preto:
$dx=\frac{1}{2}dt$
A preto je tam ta jedna polovica vo vysledku :)

Akojeto · 28. 06. 2016 18:21

$\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1+x)}}dx=\arcsin x +c$

$\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{1-4x^{2}}}dx=\int_{}^{}\frac{1}{\sqrt{(1-2x)(1+2x)}}dx$

Subst. $2x=t$

$2dx=dt$ , takže. $dx=\frac12dt$

Alebo nie?

Lobacho · 28. 06. 2016 18:47

↑ Kenniicek:
↑ Akojeto:

takže substituce $y=2x$ místo toho mého nešikovného $y=1- 4x^{2}$
měl jsem napsat na začátku, co jsem volil za substituci, v té byla moje chyba

děkuji vám

↑ Takjo:
omlouvám se, Vašemu postupu nerozumím, ale děkuji za snahu o pomoc,
po substituci, kterou jste mi potvrdil jako správnou mi výpočet vyšel takto:

$\int_{}^{}\frac{\cos y}{2\sqrt{1-\sin ^{2}y}}dy = \int_{}^{}\frac{\cos y}{2\sqrt{cos^{2}y}}dy =\frac{1}{2} \int_{}^{}\frac{\cos y}{\sqrt{cos^{2}y}}dy$

což znamená, že jsem asi někde něco nepochopil

jelena · 28. 06. 2016 19:39

Zdravím,

↑ Lobacho: návrh od kolegy ↑ Takjo: a ve Tvé úpravě povede na $\int \frac{\cos y}{\sqrt{\cos^{2} y}}dy=\int \frac{\cos y}{|\cos y|}dy$ , pro $-\frac{\pi}{2}<y< \frac{\pi}{2}$ dává $\int 1\d y=$ a dokončit dle kolegy ↑ Takjo: (tato úprava by měla odpovídat i def. oboru původně zadané funkce, ale při substitucích (a na to se občas zapomíná) je dobré vždy kontrolovat, zda navrhovaná substituce nepožaduje omezení na def. obor. V pořádku? Děkuji.

Matematické Fórum

#1 28. 06. 2016 17:21 — Editoval Lobacho (28. 06. 2016 17:21)

Vypočíst integrál substituční metodou

#2 28. 06. 2016 17:31

Re: Vypočíst integrál substituční metodou

#3 28. 06. 2016 17:34

Re: Vypočíst integrál substituční metodou

#4 28. 06. 2016 17:37

Re: Vypočíst integrál substituční metodou

#5 28. 06. 2016 18:10

Re: Vypočíst integrál substituční metodou

#6 28. 06. 2016 18:14

Re: Vypočíst integrál substituční metodou

#7 28. 06. 2016 18:19

Re: Vypočíst integrál substituční metodou

#8 28. 06. 2016 18:21

Re: Vypočíst integrál substituční metodou

#9 28. 06. 2016 18:47

Re: Vypočíst integrál substituční metodou

#10 28. 06. 2016 19:39

Re: Vypočíst integrál substituční metodou

Zápatí