Matematické Fórum

↑ Tom Piskovský:To co pises, je sice pravda, ale vidis v tom nejaky suvis s tvojou ulohou? Pokial ide o dokaz, ide to roznymi sposobmi. Uvedom si napriklad, ze tri rozne body kruznice tvoria trojuholnik.

Ahoj ↑ Tom Piskovský:,

šel bych na to sporem: Předpokládejme že existují tři různé body A, B, C přímky, které leží na téže kružnici. Střed kružnice nechť je S. Pak musí být |AS|=|BS|=|CS|=r (nakresli si). Co z toho plyne pro trojúhelníky ASB, BSC? A co pro úhly při vrcholech A, B, C? A spor už je (snad) vidět...

↑ Tom Piskovský:

Ne - body A, B, C přece leží na přímce, a tak nemohou tvořit trojúhelník. Jde o trojúhelníky ASB, BSC, a ASC:



Pokud mají body A, B, C ležet na nějaké kružnici o středu S, musí být všechny tyto trojúhelníky rovnoramenné. Co z toho vyplývá pro úhly vyznačené na obrázku zelenými oblouky?

↑ Tom Piskovský:

v podstatě ano, upřesnil bych:

Předpokládejme, že A,B,C leží na kružnici, její střed označme S.



=>

a) |AS|= |CS| => alfa = gama  (1)
b) |AS|= |BS| => alfa = beta   (2)
c) |BS| =|CS| => gama = beta s čárkou (3)

(1) (2) => gama=alfa=beta => gama = beta
(3)                                         gama = beta s čárkou
                                              ===============
                                         => beta = beta s čárkou => oba jsou pravé (je to přímo definice pravého úhlu)
                                       (3) => gama je pravý
                                       (1) => alfa je pravý
                                               ==============
                                         => všechny čtyři úhly jsou pravé
                                         => každý trojúhelník má dva vnitřní úhly pravé => spor.