Matematické Fórum

Phoenix22 · 20. 04. 2009 17:57

Potřebují pomoct s tady tou funkci.

$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=120&eq=\frac{x^3%20}{2(x%2B1)^2%20}%3D\frac{1}{2}*(\frac{x^3%20}{(x%2B1)^2})$

Nevím přesně u ní určit Df obor a Hf obor a limity v bodech nespojitosti a konkavnost a konvexnost u druhé derivace.

První derivaci mám vypočtenou ta je:

$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=175&eq=f^%2C%20(x)%3D\frac{x^2(x%2B3)%20}{2(x%2B1)^3}$

Druhou derivaci mám vypočtenou a ta je:

$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=175&eq=f^%22(x)%20\frac{3x}{(x%2B1)^4}$

No a pak mám slovní úlohu a u té vůbec nevím. Ta je taková:

Jak zvolit poloměr r podstavy a výšku v rotačního válce vepsaného do rotačního kužele s poloměrem podstavy a=9 cm a výškou h=12 cm, aby objem válce byl maximální? Jaký bude tento objem?

lukaszh · 20. 04. 2009 23:10

↑ Phoenix22:
Podmienka pre definičný obor je nenulovosť menovateľa. Obor hodnôt určíš až na konci, keď budeš mať vyšetrené všetky zložky. Konvexnosť a konkávnosť zisti z definície. Neviem či je problémom riešenie nerovníc alebo niečo iné.

Tento príklad je trošku zákerný na úvahy. Ja osobne som pri jeho riešení využil podobnosť, takže obrázok

Tie dva vyznačené dva trojuholníky a tretí najväčší sú podobné. Spodná strana menšieho má dĺžku r. Spodná strana väčšieho je 9 - r.
$\frac{12}{9}=\frac{h}{9-r}\;\Rightarrow\;r=9-\frac{3}{4}h$
kde h je výška väčšieho z vyznačených trojuholníkov. Ide len o skúmanie pomerov strán. Objem valca je potom
$V=\pi r^2v=\pi$9-\frac{3}{4}h$^2h=81h\pi-\frac{27}{2}h^2\pi+\frac{9}{16}h^3\pi$
Derivujeme funkciu V(h) a hľadáme extrém:
$V'(h)=0\;\Leftrightarrow\;81\pi-27h\pi+\frac{27}{16}h^2\pi=0$
Stacionárne body sú $h_1=12,\,h_2=4$ . Bez druhej derivácie sa môžeš presvedčiť, že ak je výška 12 tak objem je 0. Vychádza teda jedine h = 4.

Cheop · 21. 04. 2009 07:46 — Editoval Cheop (21. 04. 2009 08:04)

↑ Phoenix22:
Jen doplním ↑ lukaszh:

Obecně největší objem bude mít válec při tomto:
$r=\frac{2a}{3}\nlv=\frac h3$ kde $r$ je poloměr válce a $v$ je výška válce

Objem bude:
$V_{\textrm{max}}=\frac{4\pi\cdot a^2\cdot h}{27}$
V našem případě tedy:
$r=6\nlv=4$
$V=144\pi\,\textrm{cm^2}$

Phoenix22 · 21. 04. 2009 13:08

Aha? Tak to vám musím poděkovat. Už mi je to trochu jasné. Ještě jednou díky.

Phoenix22 · 21. 04. 2009 15:43

Ještě by jsem se chtěl zeptat, jelikož moc neovládám derivaci , kde jsou dvě proměnné, jaký je postup? Myslým u toho slovnáho příkladu. Předem díky.

Kondr · 21. 04. 2009 16:03

↑ Phoenix22:Jednu neznámou vyjádříš pomocí druhé z nějaké podmínky. Dvě neznámé jsou výška a poloměr, podmínka, která je spojuje, říká, že válec je vepsán do kužele. Podíváme-li se na řez, vidíme, že to znamená lineární závislost mezi h a r. Konkrétně $\frac{12}{9}=\frac{h}{9-r}\;\Rightarrow\;r=9-\frac{3}{4}h$ , jak psal lukasz. Po vyjádření už máme jen jednu neznámou:
$V=\pi r^2v=\pi$9-\frac{3}{4}h$^2h=81h\pi-\frac{27}{2}h^2\pi+\frac{9}{16}h^3\pi$ a můžeme derivovat.

Samozřejmě musíme nejdříve dosadit a pak derivovat, naopak to nemá smysl. Mohli bychom ještě počítat bez dosazení, pomocí Lagrangeových multiplikátorů (http://cs.wikipedia.org/wiki/V%C3%A1zan … xtr%C3%A9m ) ale to by bylo asi složitější na pochopení.

Phoenix22 · 28. 04. 2009 11:20

Mohl by mi někdo pomoci zderivovat tady to? Teď vůbec nevím jak dál.

$http://www.matweb.cz/cgi-bin/mimetex.cgi?\opaque{}V=\pi%20r^2v=\pi$9-\frac{3}{4}h$^2h=81h\pi-\frac{27}{2}h^2\pi+\frac{9}{16}h^3\pi$

Zkoušel jsem to ale nechytl jsem se. Fakt by mi to pomohlo. Díky.

Cheop · 28. 04. 2009 11:30 — Editoval Cheop (28. 04. 2009 11:34)

↑ Phoenix22:
Derivuješ podle h a ostatní jsou konstanty Tedy:
$\left(81\pi h-\frac{27\pi h^2}{2}+\frac{9\pi h^3}{16}\right)^\prime=81\pi-27\pi h+\frac{27\pi h^2}{16}$ toto položíš rovno nule a vypočítáš hodnotu h

Dospěješ k této kvadratické rovnici:
$h^2-16h+48=0\nlh_1=12\nlh_2=4$

Phoenix22 · 29. 04. 2009 10:45

To mi vyšlo. I ta kvadratická rovnice my vyšla stejně. Ale jak určím extrém? To se určuje z tých stacionarních bodů že? A teď přesně nevím,. jaký potřebují určit extrém lokální nebo globálni?

Cheop · 29. 04. 2009 11:08 — Editoval Cheop (29. 04. 2009 11:14)

↑ Phoenix22:
Máš toto:
$\frac{12}{9}=\frac{h}{9-r}\;\Rightarrow\;r=9-\frac{3}{4}h$
Čili:
pro $h=12$ bude r:
$r=9-\frac{3}{4}h=9-9=0$
Objem V =0(což není požadovaný maximální objem)
Pro $h=4$ bude r:
$r=9-\frac{3}{4}h=9-3=6$
Pak objem bude:
$V=\pi\cdot r^2\cdot v=\pi\cdot 6^2\cdot 4=144\pi\,\textrm{cm^2}$
Maximální objem tedy bude $144\pi\,\textrm{cm^2}$ a to nastane, když výška válce bude
4 cm a poloměr válce bude 6 cm.
PS:

Obecně největší objem bude mít válec při tomto:
$r=\frac{2a}{3}\nlv=\frac h3$
a pak maximální objem bude:
$V_{\textrm{max}}=\frac{4\pi\cdot a^2\cdot h}{27}$

Phoenix22 · 06. 05. 2009 08:00

Jo a chci se zeptat. Definiční obor u te 1 funkce na hoře úplně ta první funkce bude: Df=R\{-1}?
Teď přesně nevím.

Vím, že 2(x+1)^2 = 2x^2 + 4x + 2 = 0

Z toho vyplívá, že diskriminant D=0 a rovnice bude mít právě 1 řešení (kořen)
Kořen vypočteme jako: x1 = x2 = -b/2a

což v mém případě je x1 = x2 = -1

A teď ten Df můžu napsat jako Df=R\{-1}, kde bereme všechny realna číslo kromě -1? Mýlim se nabo jak to je přesně?

jelena · 06. 05. 2009 09:05

↑ Phoenix22:

Df=R\{-1} to je OK, skutečně pouze pro x=-1 jmenovatel je nulový, proto (-1) vyloučíme z def. oboru.

Zdravím.

Phoenix22 · 06. 05. 2009 18:29

Chtěl by jsem se vás zeptat. Mám dobře vypočtené stacionární body a vše co je na obrázku. Derivaci mám správně, ale ten zbytek zda jsem dobře napsal a pochopil. Předem díky.

Jo a Df mi vyšlo: Df=R\{-1}

O.o · 06. 05. 2009 19:07 — Editoval O.o (06. 05. 2009 19:29)

↑ Phoenix22:

Ahoj -),

je to drobnost, ale jsi si jistý, že máš v tabulce správně druhý sloupec zprava (konkrétně (x+1)^3 pro x z itnervalu (-1; 0), opravdu je to záporná záležitost?

Jinak ten konec vypadá zvláštně. V tabulce sis napsal, že prvá derivace je kladná (tj. větší, jak nula) pro x ze tří intervalů (viz. obrázek), ale hned pod tabulkou to dementuješ tvrzením, že prvá derivace z f(x) je větší, jak nula pouze pro x z itnervalu od nuly do nekonečna, ale co intervaly: (-oo; -3), (-1; 0)?
Stejně tak jsi v tabulce zjistil, pro jaká x (pro x z jakého intervalu) je první derivace z f(x) menší jak nula, ale pod tabulkou znovu tvrdíš něco úplně jiného.

Myslím, že ti vyšlo toto:

$f^{\prime}(x)>0: \ x\in[(-\infty; \ -3) \cup (-1; \ 0) \cup (0; \ \infty)] \nl f^{\prime}(x)<0: \ x \in (-3; \ -1)$

Samozřejěm závěr je pak logicky také jinak než tvůj soupis z tabulky.

Nepřehlédl jsem ale něco? Já jsem se koukal jen na finální výsledky..

Phoenix22 · 06. 05. 2009 19:24

Právě, že nejsem si jistej, proto potřebují popopravit, aby jsem věděl jak a co.

O.o · 06. 05. 2009 19:31 — Editoval O.o (06. 05. 2009 19:32)

↑ Phoenix22:

Tu tabulku (až na jednu buňku, kterou jsem poznámkoval výše - tzn. mrkni na to znovu a oprav si ji) máš správně. Zbytek pdo tabulkou si už odporuje, jak jen to jde. Podívej se na intervaly, kde ti vyšlo + pro první derivaci a to jsou právě ty intervaly, kde je funkce f(x) rostoucí, naopak ty intervaly, kde máš v tabulce -, tak to jsou právě ty intervaly, kde je f(x) klesající. Výše jsem ti to už předtím psal.

Napsal jsi, že zbytek (až do těch derivací) máš správně, tak nad tím jsem ani neuvažoval ;-)..

Phoenix22 · 06. 05. 2009 19:46

↑ O.o:↑ O.o:

I ty určené stacionární body mám špatně?

O.o · 06. 05. 2009 20:44

↑ Phoenix22:

Nn, v tabulce máš špatně jen tu jednu buňku, kde má být místo minus plus (podívej se na první příspěvek, co jsem ti psal, popsal jsem o co jde).

Stacionární body máš určené správně (0, -3).

Teď jsem si ještě všiml, asi bude záležet na tom, jak čemu kdo rozumí, ale nevím, jestli bych x=-1 považoval za nulový bod (to jen, když už to tam píšeš). Tedy spíš, já vždycky rozuměl nulový bod, jako bod, který "nuluje" funkci. Mínus jednotka je, ale právě bod, který nenuluje funkci. Řekl bych spíš, že nulové body jsou 0 a -3, zatímco v bodě -1 není funkce definovaná. Není to nic zázračného, krom toho záleží na tom, co vy nazýváte nulovými body, já osobně bych to řešil spíš, jak jsem před chvilkou popsal -)

Phoenix22 · 07. 05. 2009 09:48

S tou -1 máš úplnou pravdu. Znovu jsem to přepočítaval a kyž dosadím za x -1 tak mi výjde číslo/0 a to nemá symsl v oboru realných čísel. Tak jsem to opravil ale teď nevím zda mám tabulku správně.

Viz nový sken:

jelena · 07. 05. 2009 10:25

↑ Phoenix22:

Zdravím, asi trochu nedorozumění - hodnotu (-1) nevynechavej z tabulky - pro vyšetření funkce (extrému) je podstatná i taková hodnota x, kde derivace neexistuje. http://cs.wikipedia.org/wiki/Extr%C3%A9m_funkce

Podle rady kolegy pouze oprav hodnotu znamenka pro (x+1)^3 pro x z intervalu (-1; 0), jinak ma zůstat tabulka odsud: (↑ Phoenix22:

OK?

Phoenix22 · 07. 05. 2009 10:38

Jo aha? Tak to jsem nepochopil. Díky za radu. Tak to změním.

jelena · 07. 05. 2009 10:48

↑ Phoenix22:

V (-1) bude svisla asymptota a funkce bude "ubíhat" do -oo jak zleva, tak zprava (to znamená, že znamenko derivace se změni, před (-1) funkce bude klésající, po (-1) bude rostoucí), ale v samotné (-1) funkce není spojena. To jen pro poradek, aby jsi ze změny znamenka derivace neudelal zaver, ze v bode (-1) je extrém (max, min) - není tam, ale tento bod z hlediska vyšetření funkce je důležitý.

Už to přenechávam kolegovi ↑ O.o:, kterého takto zdravím :-)

Phoenix22 · 07. 05. 2009 11:06

↑ jelena:
Děkují za pomoc.

Phoenix22 · 07. 05. 2009 11:23

Můžu napsat tady to:

f´(x) > pro x náleží (-oo, 0)\{-1}

Místo:

f´(c)>pro x náleží [(-oo, -3)U(-3, -1)U(-1, 0)U(0, oo)]

Je to totéž, anebo jsou to dva úplně jiná tvrzení?

jelena · 07. 05. 2009 12:10

↑ Phoenix22:

To mi nedává smysl, promiň :-(

To, co je navrženo od kolegy, může být použito do závěru:

$f^{\prime}(x)>0: \ x\in[(-\infty; \ -3) \cup (-1; \ 0) \cup (0; \ \infty)] \nlf^{\prime}(x)<0: \ x \in (-3; \ -1)$

Platí tvoje tabulka z příspěvku 13, s opravou znamenka pro interval pro (x+1)^3 pro x z intervalu (-1; 0)

Matematické Fórum

#1 20. 04. 2009 17:57

Pomoc s výpočty jedná se o funkce a slovní úlohu. Předem děkují

#2 20. 04. 2009 23:10

Re: Pomoc s výpočty jedná se o funkce a slovní úlohu. Předem děkují

#3 21. 04. 2009 07:46 — Editoval Cheop (21. 04. 2009 08:04)

Re: Pomoc s výpočty jedná se o funkce a slovní úlohu. Předem děkují

#4 21. 04. 2009 13:08

Re: Pomoc s výpočty jedná se o funkce a slovní úlohu. Předem děkují

#5 21. 04. 2009 15:43

Re: Pomoc s výpočty jedná se o funkce a slovní úlohu. Předem děkují

#6 21. 04. 2009 16:03

Re: Pomoc s výpočty jedná se o funkce a slovní úlohu. Předem děkují

#7 28. 04. 2009 11:20

Re: Pomoc s výpočty jedná se o funkce a slovní úlohu. Předem děkují

#8 28. 04. 2009 11:30 — Editoval Cheop (28. 04. 2009 11:34)

Re: Pomoc s výpočty jedná se o funkce a slovní úlohu. Předem děkují

#9 29. 04. 2009 10:45

Re: Pomoc s výpočty jedná se o funkce a slovní úlohu. Předem děkují

#10 29. 04. 2009 11:08 — Editoval Cheop (29. 04. 2009 11:14)

Re: Pomoc s výpočty jedná se o funkce a slovní úlohu. Předem děkují

#11 06. 05. 2009 08:00

Re: Pomoc s výpočty jedná se o funkce a slovní úlohu. Předem děkují

#12 06. 05. 2009 09:05

Re: Pomoc s výpočty jedná se o funkce a slovní úlohu. Předem děkují

#13 06. 05. 2009 18:29

Re: Pomoc s výpočty jedná se o funkce a slovní úlohu. Předem děkují

#14 06. 05. 2009 19:07 — Editoval O.o (06. 05. 2009 19:29)

Re: Pomoc s výpočty jedná se o funkce a slovní úlohu. Předem děkují

#15 06. 05. 2009 19:24

Re: Pomoc s výpočty jedná se o funkce a slovní úlohu. Předem děkují

#16 06. 05. 2009 19:31 — Editoval O.o (06. 05. 2009 19:32)

Re: Pomoc s výpočty jedná se o funkce a slovní úlohu. Předem děkují

#17 06. 05. 2009 19:46

Re: Pomoc s výpočty jedná se o funkce a slovní úlohu. Předem děkují

#18 06. 05. 2009 20:44

Re: Pomoc s výpočty jedná se o funkce a slovní úlohu. Předem děkují

#19 07. 05. 2009 09:48

Re: Pomoc s výpočty jedná se o funkce a slovní úlohu. Předem děkují

#20 07. 05. 2009 10:25

Re: Pomoc s výpočty jedná se o funkce a slovní úlohu. Předem děkují

#21 07. 05. 2009 10:38

Re: Pomoc s výpočty jedná se o funkce a slovní úlohu. Předem děkují

#22 07. 05. 2009 10:48

Re: Pomoc s výpočty jedná se o funkce a slovní úlohu. Předem děkují

#23 07. 05. 2009 11:06

Re: Pomoc s výpočty jedná se o funkce a slovní úlohu. Předem děkují

#24 07. 05. 2009 11:23

Re: Pomoc s výpočty jedná se o funkce a slovní úlohu. Předem děkují

#25 07. 05. 2009 12:10

Re: Pomoc s výpočty jedná se o funkce a slovní úlohu. Předem děkují

Zápatí