Matematické Fórum

GunSpawn · 25. 07. 2016 14:18

Dobrý den,
potřeboval bych poradit ohledně jedné rovnice se třemi parametry. Rovnice vypadá takto
$ax^{2}+bx+c=x^{2}-1$

Vypadá to jednoduše, ale nevím, jak na to. Mlhavě si vzpomínám na něco o tom, že výrazy s x se mají přesunout na jednu stranu a zbytek na druhou, ale co potom, to nevím.
Díky za odpověď.
GunSpawn

Rumburak

↑ GunSpawn:

Zdravím.

A co se má s rovnicí

(1) $ax^{2}+bx+c=x^{2}-1$

dělat ? Provést úplnou diskusi její řešitelnosti v závislosti na parametrech $a, b, c$ a určit všechna případná řešení ?
Rovnici (1) upravíme do ekvivalentního tvaru

(2) $(a-1)x^{2}+bx+(c+1)= 0$

a vzpomeneme si, jak vypadá diskuse řešitelnosti algebraické rovnice standardního tvaru

(3) $Ax^2 + Bx + C = 0$ .

Je potřeba uvážit případy:

I. Nalevo v rovnici (3) je polynom stupně 2 (když $A \ne 0$ ), tj. jde o kvadratickou rovnici. Tu umíme vyřešit metodou
doplnění na čtverec.

II. Polynom na levé straně v (3) má stupeň 1 (když $A = 0, B \ne 0$ ). Tedy jde o lineární rovnici, jejíž způsob řešení
je rovněž znám a navíc velmi snadný.

III. Polynom na levé straně v (3) má stupeň 0 ( $A = 0, B= 0, C\ne 0$ ). Rovnice (3) pak zřejmě nemá řešení.

IV. Polynom na levé straně v (3) nemá stupeň ( $A = 0, B= 0, C = 0$ ). Kořenem rovnice (3) pak je libovolné
komplexní číslo.

GunSpawn · 25. 07. 2016 15:47

↑ Rumburak:
Já hlupák :D
Určete hodnoty parametrů a,b,c patřící do množiny reálných čísel, aby platila rovnost.

Rumburak

↑ GunSpawn:
Aby zde platila rovnost "pro všechna x", jak je nejspíš míněno, musí být na levé i pravé rovnice tentýž polynom,
což odpovídá případu IV. z předchozího rozboru.

Eratosthenes · 25. 07. 2016 17:51

↑ GunSpawn:

aby rovnost platila pro všechna x, musí být na levé straně stejný polynom, jako na pravé, tj. a=1, b=0, c=-1.

GunSpawn · 26. 07. 2016 10:52

↑ Rumburak:↑ Eratosthenes:
Dobře, díky moc.

Matematické Fórum

#1 25. 07. 2016 14:18

Rovnice s parametry

#2 25. 07. 2016 15:26 — Editoval Rumburak (25. 07. 2016 15:29)

Re: Rovnice s parametry

#3 25. 07. 2016 15:47

Re: Rovnice s parametry

#4 25. 07. 2016 15:53 — Editoval Rumburak (25. 07. 2016 15:55)

Re: Rovnice s parametry

#5 25. 07. 2016 17:51

Re: Rovnice s parametry

#6 26. 07. 2016 10:52

Re: Rovnice s parametry

Zápatí