Matematické Fórum

alik14 · 01. 07. 2016 07:54

Je dán komolý kužel se základnou o průměru 240 mm a sklonem stěny 31°. Okolo kužele stoupá spirála, která obtočí přesně o 360°. Její stoupání v prostoru činí konstantních 8°. Jaká je délka této spirály?

Bati · 29. 07. 2016 23:56 — Editoval Bati (30. 07. 2016 00:05)

Ahoj,
především potřebuješ nějak popsat danou křivku. Obecný bod v prostoru $X$ můžu napsat pomocí cylindrických souřadnic $r$ , $\varphi$ , $h$ tak, že
$X=[r\cos\varphi,r\sin\varphi,h]$ . O souřadnici $\varphi$ vím, že $\varphi\in[0,2\pi]$ , nechám ji tedy jako volný parametr. Body spirály $S$ musí podle zadání splňovat
1) $h=\tan\alpha\;(R-r)$ (sklon stěny)
2) $\cos\beta=\frac{\textbf{t}_S\cdot\textbf{t}_K}{|\textbf{t}_S||\textbf{t}_K|}$ (úhel vinutí je konstatntní),
přičemž
$R$ je poloměr podstavy
$\alpha$ je sklon stěny
$\beta$ je úhel vinutí
$\textbf{t}_S$ je tečný vektor ke spirále
$\textbf{t}_K$ je tečný vektor ke kružnici, která leží v rovnoběžné rovině s podstavou.

Nyní chceme použít 1) a 2) k určení závislosti $r$ a $h$ na $\varphi$ . Použitím 1) se snadno zbavíme $h$ , a vidíme, že $r$ musí být funkcí jen $\varphi$ , tj. $r=r(\varphi)$ . Body spirály tedy můžeme zapsat ve tvaru
$S=[r(\varphi)\cos\varphi,r(\varphi)\sin\varphi,\tan\alpha\,(R-r(\varphi))]$ , $\varphi\in[0,2\pi]$ . Zbývá použít 2) a určit funkci $r(\varphi)$ .

Snadnými výpočty dostaneme
$\textbf{t}_S=(r'\cos\varphi-r\sin\varphi,r'\sin\varphi+r\cos\varphi,-\tan{\alpha}\,r')$
$|\textbf{t}_S|=\sqrt{\frac{r'^2}{\cos^2\alpha}+r^2}$
$\textbf{t}_K=(-\sin\varphi,\cos\varphi,0)$
$|\textbf{t}_K|=1$ .
Z 2) pak plyne $\cos\beta=\frac{r}{\sqrt{\frac{r'^2}{\cos^2\alpha}+r^2}}$ , a tedy ( $r'<0$ ) $-\frac1{\cos\alpha\tan\beta}\,r'=r$ . Odsud $r(\varphi)=Re^{-\cos\alpha\tan\beta\,\varphi}$ . Tím je parametrizace spirály kompletní. Protože chceme počítat její délku $L$ , zajímá nás $|\textbf{t}_S|$ . Zjišťujeme, že
$|\textbf{t}_S|=\frac{R}{\cos\beta}e^{-\cos\alpha\tan\beta\,\varphi}$ . Délku pak dostaneme jednoduchou integrací:
$L=\int_S1=\int_0^{2\pi}|\textbf{t}_S|\,\mathrm{d}\varphi=\frac{R}{\cos\alpha\sin\beta}(1-e^{-2\pi\cos\alpha\tan\beta})$ .

PS: Nepřipadá mi to jako moc zajímavá úloha. Spíš z praxe.
PS 2: Limitním přechodem $\alpha\to\tfrac{\pi}2-$ dostáváme obyčejnou šroubovici, což je dobře.

Matematické Fórum

#1 01. 07. 2016 07:54

Délka spirály okolo kužele

#2 29. 07. 2016 23:56 — Editoval Bati (30. 07. 2016 00:05)

Re: Délka spirály okolo kužele

Zápatí